Hiperbolün Analitik İncelemesi

Günlük hayatımızda, parabol ve elips kadar olmasa da yine de hiperbol şekilleriyle karşılaşıyoruz peki nasıl mı? İşte bunlardan bir tanesi:

Görüldüğü gibi cipsin şekli hiperbole bir örnek.Şimdi de geometrideki hiperbol konusuna göz atalım.
 1.Tanımlar

Düzlemde, sabit iki noktaya olan uzaklıkları farkının mutlak değeri, sabit olan noktaların kümesine hiperbol denir. 

Bazı grafik çizdirme programları sayesinde bilgisayar üzerinde hiperbol şekli elde edebillir. Bunlardan biri de GSP. İlk olarak iki odak, bir çember ve doğrular çiziyoruz. 

Daha sonra odakları F1 ve F2 olan  hiperbolümüzü elde edebiliriz.

Şekildeki deki sabit olarak alınan F ve F´noktaları hiperbolün odaklarıdır.

Sabit uzunlukta 2a birimdir. D ve E noktaları hiperbole ait birer nokta olduğundan

|DF|-|DF’|=2a birimdir

|EF’|-|EF|=2a birimdir

2.Hiperbolün Eksenleri ve Özel Noktaları
Analitik düzlemde, merkezi orijinde ve odakları x ekseni üzerinde olan bir

hiperbol çizelim. Bu hiperbolün odakları F ve F´olsun 
a. Asal eksen: x ekseni üzerindeki FF´doğrusuna, hiperbolün odaklar ekseni
veya asal eksen denir.
b. Yedek eksen: O noktasından, asal eksene dik olmak üzere çizilen Oy
doğrusuna, hiperbolün yedek ekseni denir.Yedek eksen hiperbolü kesmediğinden, bu
eksene sanal eksen de denir. Bu eksen üzerinde hiperbole ait hiç bir nokta
bulunmamaktadır.
c. Hiperbolün merkezi: FF´doğru parçasının orta noktasına hiperbolün merkezi
denir.
d. Hipeberolün köşeleri: Asal eksen ile hiperbolün kesim noktaları olan A ve A´

noktalarına hiperbolün köşeleri denir.

Hiperbolün köşe noktalarının koordinatları,
A(a, 0) ve A´(-a , 0) noktalarıdır.
|AF′| - |AF| = |AF |- |AF′| = |AA′| = 2a dır.

|OA|= |OA′| ve |AA′| = 2 |OA| = 2a birim olduğundan,|OA| = |OA′| = a birim olur

Yedek eksen üzerinde bulunan B ve B´noktalarına hiperbolün yedek eksen
köşeleri denir. Yedek eksen uzunluğu |BB´| = 2b birimdir.
Hiperbolün yedek eksen köşelerinin koordinatları: B (0, b) ve B´(0 , -b)
noktalarıdır.

e. Hiperbolün odak noktaları: Hiperbolün odak noktaları F ve F´noktalarıdır.
|FF´| uzunluğuna, odaklar arası uzunluğu denir. Odaklar arası uzunluğu |FF´| = 2c birim olduğundan, |OF| = |OF´| = c birim olur. Odak noktalarının koordinatları,
F (c, 0) ve F´(-c, 0) dır.
 Şekildeki DOA dik üçgeninde, Pisagor bağıntısına göre;
f. Merkezil hiperbol: Odakları x ekseni üzerinde ve merkezi orijinde bulunan
hiperbole, merkezil hiperbol denir.

Ox ve Oy eksenleri hiperbolün simetri eksenleridir. O noktası (orijin) ise
hiperbolün simetri merkezidir.

g. Hiperbolün dış merkezliği: Bir hiperbolde odaklar arası uzaklığın, asal eksen
uzunluğuna oranına, hiperbolün dış merkezliği denir. Dış merkezliği e ile gösterirsek;

e = 2c / 2a = c / a dır. c>a olduğundan e>1 dir.

ÖRNEK: Asal eksen uzunluğu 6 birim, odaklar arası uzaklığı 10 birim olan ve
odakları x ekseni üzerinde bulunan merkezil bir hiperbol veriliyor. Buna göre;
a. Hiperbolün köşelerinin koordinatlarını,
b. Hiperbolün odaklarının koordinatlarını,
c. Hiperbolün yedek eksen uzunluğunu ve yedek eksenin köşelerinin koordinatlarını,
d. Hiperbolün dış merkezliğini bulalım.

ÇÖZÜM: Verilen hiperbolde ;
a. Asal eksen uzunluğu 6 birim olduğundan,
2a = 6 birim ve a = 3 birimdir.
Hiperbolün köşesinin koordinatları:
A(a, 0) = A(3, 0) ve A´(-a , 0) = A´(-3, 0) olur.

b. Odaklar arası uzaklığı 10 birim olduğundan, 2c = 10 birim ve c = 5 birimdir.
Hiperbolün odaklarının koordinatları;
F(c, 0) = F(5, 0) ve F´(-c, 0) = F´(-5, 0) olur

c. Hiperbolün yedek eksen uzunluğunu bulmak için,
c² =a²+ b² olduğundan, b^{2  =}c^{2 -}a² ve  b²  = 5²-3²=16 ise, b = 4 birimdir.
Hiperbolün yedek eksen uzunluğu: 2b = 2(4) = 8 birim olur.
Yedek eksenin köşelerinin koordinatları: B (0, b) = B (0 , 4) ve B´(0 , -b) = B´(0, -4) olur.

d. Hiperbolün dış merkezliği; e=c/a=5/3 tür.

3. Merkezil Hiperbolün Denklemi

a.Odakları x ekseni üzerinde olan hiperboller




Odakları x ekseni üzerinde olan hiperbolün odak noktaları F(c , 0) ve F´(-c , 0) ,asal eksen uzunluğu |AA'|=2a birim ve yedek eksen uzunlığu 2b birimdir. Merkezil bir hiperbolün üzerinde, değişen bir  P( x , y) noktası alalım. Öyleyse böyle merkezil bir hiperbolün genel denklemi,
b ² . x ²- a ² .y ²= a ². b ² veya x² / a²- y² /b² = 1

ÖRNEK: Merkezil bir hiperbolün odak noktalarının koordinatları F (5 , 0) ve F´(-5 , 0) dır.
Bu hiperbol P(8,3√3) noktasından geçtiğine göre, bu hiperbolün denklemini yazalım.

ÇÖZÜM: |PF|^2= (5-8)^2+(0-3√3)^2 ise |PF|=6 birimdir.
                  |PF'|^2=(-5-8)^2+(0-3√3)^2 ise |PF'|=1 birimdir.
           |PF'|- |PF|=14-6=8 birimdir
Hiperbolün asal eksen uzunluğu 2a=8 birim olur ve a=4 birimdir.
  Odak noktalarının koordinatları F(5, 0) ve F´(-5 , 0) olduğundan, c = 5 birimdir.

Hiperbolün yedek eksen uzunluğunun yarısını bulmak için,
 b^{2  =}c^{2 -}a²  olduğundan,  b ^{2 =}25 - 16ise b = 3 birimdir.
Buna göre hiperbolün denklemi, x² / a²- y² /b² = 1 olduğundan 
x² / 16 - y² /9  = 1 veya 9. x² - 16.y² = 144 

b.Odakları y ekseni üzerinde olan hiperboller
Hiperbolün odakları y ekseni üzerinde ise asal 
eksen y ekseni ile çakışıktır
Hiperbolün kolları x eksenini kesmez. Bu hiperbolün odak noktalarının koordinatları
F(0 , c) ve F´(0 , -c) dir. Asal eksen köşeleri:A(0 , a) ve A´(0 , - a) dır. Bu durumda a^{2 <}b²  ise
 a < b < c ve c² =a²+ b²
Hiperbolün denklemi b ² . y²- a ² .x²= a ². b ² veya  y² / a²- x² /b² = 1




ÖRNEK: Denklemi 25y² - 16 x² = 400 olan hiperbolün:
a. Eksenlerinin uzunluklarını,
b. Köşesinin koordinatlarını,
c. Odaklar arası uzunluğunu,
d. Odaklarının koordinatlarını,
e. Dış merkezliğini bulalım,
f. Analitik düzlemde çizimini yapalım.


ÇÖZÜM: 
Burada a = 4 birim ve b = 5 birimdir.
a. Asal eksen uzunluğu: 2a = 2 .4 = 8 birimdir.
Yedek eksen uzunluğu 2b = 2 . 5 = 10 birimdir.
b. Asal eksen köşeleri: A(0 , a) = A(0, 4) ve A´(0 - a) = A´(0, -4) tür.
Yedek eksen köşeleri : B(b , 0) = B(5, 0) ve B´(-b, 0) = B´(-5, 0) olur.

 NuCalc programı yardımıyla şeklimizi çizelim.

c. Odaklar arası uzunluğu:c² =a²+ b²   olduğundan c² =4²+5²=16+25=41

c =√41 2c=2√41 birim olur.

d. Odaklarının koordinatları: F( 0, c) = F (0, 41) ve F′ (0, -c) = F′( 0, - 41)olur.
e .Dış merkezliği: e = c/a = √41/4 tür.

Buraya kadar hiperbolün tanımını, merkezini,odaklarını ve eksenlerini öğrendik. Ayrıca çözümlü örneklerle pekiştirmeye çalıştık. Yine de aklınıza takılan bir soru olursa bu videoyu yardım edeceğini umarak ekliyorum:)


En son olarak ne kadar öğrendiğimizi ölçmek için kendimizi test edelim. Umarım hiperbol konusunda size yardımcı olmuşumdur. Aklınıza takılan bir yer olursa iletişim bilgilerimizden bize ulaşabilirsiniz :)Başarılar dilerim.

1)Asal eksen uzunluğu 12 br, odaklar arası 20 br olan hiperbolün yedek eksen uzunluğu kaç br dir?
A)10 B)12 C)14 D)16 E)18

2)Merkezi orijin olan bir hiperbolün bir odağı F(-13,0) ve asal ekseni 10 br ise yedek eksen uzunluğu kaçtır ?
A)22 B)24 C)28 D)30 E)36

3)Asal eksen ile yedek eksen uzunlukları oranı 3/4 olan bir hiperbolün dış merkezliği kaçtır?
A)3/4 B)4/3 C)5/3 D)3/5 E)8/5

4)Denklemi x²/36 –y²/45=1 olan merkezcil hiperbolün odakları kaçtır?
A)(-5,0), (5,0)
B)(-7,0),(7,0)
C)(-9,0),(9,0)
D)(-11,0),(11,0)
E)(-13,0),(13,0)

5)Odakları y ekseni üzerinde ve odaklar arası 10 br olan hiperbolün köşelerinden biri A(0,-2) ise denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A)y²/12- x²/36 =1

B)y²/16- x²/25 =1
C)y²/8- x²/16 =1
D)y²/6- x²/24 =1

E)y²/4- x²/21 =1

Cevap anahtarı:1)D 2)B 3)C 4)C 5)E

Bu çalışmayı yaparken kullandığım kaynakları bilginize sunarım.

Kaynakça
1.Grafik çizimi için  Geometer's Skecthpad ve NuCalc programı.
2. Kaynak 1
3.Kaynak 2
4.Kaynak 3

 Video