Elipsin Analitik İncelemesi

       Elips dediğimde eminim ki hepinizin aklında bir şekil beliriyordur; ama çoğunlukla yumurtanın şeklinin ve dünyanın yörüngesinin şeklinin elips olduğu söylenir. Aslında o kadar uzağa gitmeye gerek yok. Eğer evdeyseniz vitrine, sehpaların üstüne ya da televizyonun üzerine bakmanız yeterli. Nereden mi biliyorum... sizce :)

Tanıdık geldi mi :)

          Evet, resimde gördüğümüz bir elips örneği. O kadar da uzak değilmişsiniz aslında koniklerden değil mi :)  O zaman elips hakkında bir şeyler daha öğrenmeye ne dersiniz?

Tanım: Düzlemde sabit iki noktaya olan uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların geometrik yerine elips denir. Sabit olan iki noktaya elipsin odakları, odakları birleştiren doğru parçasının orta noktasına da elipsin merkezi denir.

Peki bir elips nasıl çizilir? Elips çizmek için üç tane yöntem var: Pergel ile çizim, Paralelkenar yöntemi ve Eşmerkezli daireler yöntemi. Üç yöntemin arasında bana en kolay gelen, "Eşmerkezli daireler yöntemi". Şimdi bu yöntemle elipsi nasıl çizeceğimizi adım adım görelim:

1.Adım:

   Çapları birbirinden farklı olan eş merkezli iki tane daire çizilir.

2.Adım

 Çizilen bu daireler merkezden geçen istenilen sayıda diyagonal ile bölünür.  Diyagonallerin büyük ve küçük daireleri kestiği noktalar işaretlenir.

3.Adım:

 Aynı diyagonal üzerinde, büyük dairedeki noktalardan dikey, küçük dairedeki noktalardan yatay çizgiler çizilerek bu çizgiler kesiştirilir.

4.Adım:
Kesişme noktaları serbest elle veya eğri cetveli yardımıyla birleştirilir.(burada GSP programı yardımı ile yaptık, ancak sadece kağıt kalem de kullanılabilir:)  )

Ve elipsi nasıl oluşturduğumuzu gördük. Şimdi, elipsin merkezinden ve odaklarından bahsedelim. Daha önce tanımlarını vermiştik, bir kez daha tekrarlayalım: Düzlemde sabit olan iki noktaya elipsin odakları, odakları birleştiren doğru parçasının orta noktasına da elipsin merkezi denir .

Şimdi bunları bir de şekil üzerinde görelim:

Yukarıdaki şekilde F(c,0) ve F'(-c,0) odak noktalarıdır. |F'O|=|OF|=c birimdir.

|FF'|= 2c birim uzunluğuna elipsin odaklar arası uzaklığı denir. Yukarıda da belirttiğim gibi, bu uzaklığın orta noktasına da elipsin merkezi denir. Yandaki şekilde O noktası elipsin merkezidir.


Şekilde de görüldüğü gibi |AA'|= 2a birimdir ve |BF| + |BF'| = 2a birimdir. (Neden? )


 


Eğer |AA'|=2a , |BB'|=2b ve  |FF'|=2c denirse,


yandaki şekilden de kolayca görüldüğü gibi
 a² + b² = c²        eşitliği elde edilir.

Bu bize a,b ve c arasında daima şöyle bir sıralamanın olacağını söyler:

     b<a    ve c<a


 

       Elipsin merkezini ve odaklarını öğrendikten sonra, şimdi elipsin köşeleri ve asal eksenlerini tanımlayacağız.

Tanım: Yukarıdaki şekilde A, A', B, B' noktalarına elipsin köşeleri  , [AA'] doğru parçasına elipsin asal ekseni, [BB'] doğru parçasına elipsin yedek ekseni  veya küçük ekseni denir.

Asal eksen uzunluğu |AA'|=  2a birimdir ve yedek eksen uzunluğu |BB'|= 2b birimdir. Elipsin merkezini odak noktaların orta noktası diye tanımlamıştık daha önce; burada başka bir deyişle asal eksen ile yedek eksenin kesişme noktası olarak tanımlayabiliriz.

Elipsin merkezi her zaman (0,0) noktası olmayabilir. Ancak merkezi (0,0) olan elipslere merkezil elips denir.

Şimdi, elipsin merkezini, odaklarını, köşelerini ve eksenlerini nasıl belirlediğimiz ile ilgili bir örnek görelim:

  

Buraya kadar elips denklemi oluşturabilmek için gerekli olan temel bilgileri öğrendik. Şimdi elips denkleminin nasıl oluşturulduğuna geçebiliriz:


Merkezil Elips Denklemi:

• Merkezi orijin ve eksenleri koordinat eksenleri olan elipse merkezil elips denildiğinden bahsetmiştik. x eksenini (a,0) ve (-a,0) noktasında , y eksenini (0,b) ve (0, -b) noktasında kesen  elipsin denklemi :

NOT: 

         Merkezil elips, odak noktalarının x ve y eksenleri üzerinde olması durumu gözetilerek iki farklı 

durumda incelenebilir: 

a)  

Elipsin denkleminin  ne olduğundan biraz önce bahsetmiştik. Paydadaki a ve b değerleri, yani asal 

eksen ve yedek eksenin koordinatları bize elipsin odaklarının x veya y ekseni üzerinde olduğunu 

işaret eder. Elipsin odakları x ekseni üzerindedir eğer şu şart sağlanırsa :

Şimdi bunu bir örnekle pekiştirelim:

 b)    Genellikle  ( belki de ) hayal etmesi daha kolay olduğundan elipsin odakları genellikle x eksenindeymiş gibi anlatılır ve bu yüzden odakların y ekseninde olduğunu düşünmek bu konuyu çalışanları biraz ürkütebilir, ancak korkacak birşey yok:) Tek bir şartımız var, o şartı kontrol etmemiz gerekiyor sadece. Elipsin odakları y eksenindedir eğer şu şart sağlanırsa:

Görsel olarak ifade edecek olursak,  

Bu elipsin odak noktalarının koordinatları F(0,c)  ve F'(0,-c) 'dir. Asal eksen uzuluğu |BB'|= 2b birimdir. Yedek eksek uzunluğu |AA'|= 2a birimdir. FOA' üçgeninde pisagor bağıntısı           ile c<b ve a<b nin her zaman doğru olacağı görülür.

                               

    Buraya kadar öğrendiklerimizi birkaç çözümlü temel soru ile yeniden hatırlayalım:

ÖRNEK-1:

Denklemi  

olan elipsin 

a) Eksenlerinin uzunluklarını

b)  Köşelerinin koordinatlarını

c) Odaklar arası uzunluğunu 

d) Odaklarının koordinatlarını bulunuz.

 

Eğer şekille gösterimi istenseydi şöyle gösterebilirdik:

ÖRNEK-2:

Odakları F(3,0), F(-3,0) olan ve asal eksen uzunluğu 10 birim olan elipsin denklemini bulunuz.

ÇÖZÜM:2 :

2a=10 olduğundan a=5 birimdir ve c=3 olduğundan pisagor teoremi ile aşağıdaki eşitlik bulunur.

Buradan b=4 diyebiliriz. Ve a>b olduğu için elipsin odakları x ekseni üzerindedir. İstenen denklem:

Peki bu denklemin koordinat sisteminde gösterimi nasıl olur? Bu gösterimi kağıt kalem yardımıyla yapabileceğimiz gibi, daha önceden kullandığımız GSP, Nucalc gibi programların yardımı ile de yapabiliriz:

ÖRNEK-3:

  

Analitik düzlemde , aşağıdaki  denkleme sahip elipsin grafiğini çiziniz.

ÇÖZÜM-3:

Soruda bahsedilmemiş; fakat şekil üzerinde odak noktalarını göstermek isteseydik hangi eksende gösterirdik? 

Tabiiki y ekseni üzerinde! Çünkü asal eksenin uzunluğu yedek eksenin uzunluğundan küçük :)

     Bu yazımızda, elipsten bahsettik. Elipsin merkezini, odaklarını, köşe noktalarını ve eksenlerini tanımladık. Sizlere konunun özünü verecek, temel oluşturacak birkaç soru ile de öğrendiklerinizi pekiştirmeye çalıştık. Ayrıca, öğrendiklerinizi, yaklaşık beş dakikalık süren özet şeklinde anlatılmış "elips eğitim videosu" ile tekrar edebilirsiniz :) 

        Bu ana kadar ben yazdım, ben çizdim :) Şimdi, sıra sizde !  Bakalım elipsler hakkında yazım sizin için ne kadar faydalı olmuş :)


NOT: Aşağıda "elipsin analitik incelemesi" konusunu içeren 5 tane test sorusu bulunuyor. Cevapları koyuyorum, çözümlere bakmayın diye :) Çok zorlanırsanız yorum bırakabilirsiniz :)



                                                      SIRA SİZDE ! 
  1)

Analitik düzlemde asal ekseni y ekseni olan elips şekilde gösterilmiştir. Buna göre,

I.   Elipsin odakları F(0,2) ve F'(0,-2) 'dir.

II.  Elipsin asal eksen köşeleri B(  2√3,0) ve  B( -2√3, 0) dır.

III.  Elipsin yedek köşegenleri A( 0,4) ve A(-4,0) dır.

ifadelerinden hangisi veya hangileri doğrudur?

A) I      B) II       C) I, III       D)III      E) I, II, III




                                                                   
     2)   Analitik düzlemde asal ekseni x ekseni olan elips şekilde 

gösterilmiştir. Şekilde verilen elips için,

I.   Asal eksen uzunluğu 20 birimdir.

II.  Yedek eksen uzunluğu 10 birimdir.

III. Odaklar arası uzaklığı 10√3 birimdir.

ifadelerinden hangisi veya hangileri doğrudur ?

A) I     B) I, II    C) II, III    D) I, III      E) I, II, III

                                                                                 
3)    

  Analitik düzlemde, yandaki şekilde verilen elipsin denklemi 

aşağıdkilerden hangisidir?

4)

5)  Analitik düzlemde, asal eksen uzunluğu 10 birim, yedek eksen uzunluğu 8 birim olan, yedek ekseni x ekseni üzerinde bulunan elipsin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

                                          

                                         CEVAP ANAHTARI : E- E-B-C-E

 KAYNAKÇA:

1.  Elips Çizimi

2.  Konu Anlatımında Kullanılan Kaynaklar 

   

•    Kaynak-1
•    Kaynak-2

3. Grafik çiziminde kullanılan Programlar : GSP &  Nucalc

4. Elipslerin Analitik İncelemesi