Parabolün Analitik İncelemesi

Etrafımıza baktığımızda aslında sık sık karşılaştığımız geometrik şekillerden biri de paraboldür.
Mesela, televizyon izlemek için kullandığımız çanak antenler, izlediğimiz belgesellerdeki yunusların zıplarken izledikleri yol ya da daha yakından gözlemleyebileceğimiz gibi atılan bir topun yerden sekerek hareket etmesi ve izlediği yörünge birer parabol örneğidir. Aslında çoğumuz öğrenciyiz ve en çok nerede yemek yemeyi seviyoruz diye düşündüğümüzde aklımıza gelen cevapların başında Mc Donald's gelir:) Sık sık gittiğimiz Mc Donald's ambleminin de parabol şeklinde olduğunu daha önce farketmişmiydiniz:)

       

Şimdi de günlük hayatta kolayca gözlemlediğimiz parabolün tanımına ve özelliklerine bakalım.

Tanım: Düzlemde sabit bir F noktasına ve bu noktadan geçmeyen sabit bir d doğrusuna, eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yerine parabol denir.

Konumuzun detaylarına geçmeden, GSP programını kullanarak bir parabol şekli elde edelim:

Öncelikle, gerekli noktaları gösteriyoruz:

Bir sonraki adımda ise parabol tanımında da belirttiğimiz gibi sabit bir F noktasına ve d doğrusuna eşit uzaklıktaki M noktalarının oluşturduğu şekli belirledik ve bir parabol elde ettik:

Program yardımıyla elde ettiğimiz parabol çeşidinden farklı olarak aşağıdaki şekilde de gördüğümüz gibi, sabit nokta F, sabit doğru d ve M parabol üzerinde bir nokta olmak üzere  |MF|= |MH| sonucuna varabiliriz.

Parabolün Eksenleri ve Özel Noktalar:

Şekildeki gibi bir parabol düşünelim. Parabolün tanımında da  bahsettiğimiz sabit F noktasına parabolün odağı ve sabit d doğrusuna, parabolün doğrultman doğrusu denir.

Ayrıca, parabolün odak noktasından geçen ve doğrultman doğrusuna dik olan doğruya, parabolün simetri ekseni denir. Şekildeki x ekseni parabolün eksenidir ve parabol ile eksenin kesiştiği noktaya, parabolün köşesi veya merkezi denir. Şekildeki A noktası parabolün köşesidir.

Öğrenmemiz gereken bir diğer kavram ise parabolün parametresidir ve odak noktasının doğrultman doğrusuna olan uzaklığına, parabolün parametresi denir. Bu uzaklık p ile gösterilir.

Şekildeki gibi |OF| ⊥ d ve |OF| = p dir. A noktası OF doğru parçasınn orta noktası olduğundan, 

|AO| = |AF| = p/2 olur.

Parabolün dış merkezliği ise parabol üzerindeki her noktanın, F odak noktasına ve doğrultman d doğrusuna olan uzaklıkları oranı olarak tanımlanır. Dış merkezlik e ile gösterilir.

Parabol üzerinde herhangi bir nokta M olsun. Parabolün tanımında üzerindeki bir noktanın odağa ve doğrultman doğrusuna uzaklığının eşit olduğunu söylemiştik ve şekilde de

|MF|= |MH| olduğunu görmüştük. Bu iki uzaklık oranı olan dış merkezlik, e=|MF|/|MH|=1 olur ve dolayısıyla parabollerin dış merkezlikleri 1'dir denir.

Buraya kadar parabol kavramını ve parabolün bileşenlerini öğrendik, şimdi de merkezil parabol tanımını yapıp  parabol denklemlerinin yazılışına bakalım.

Merkezil Parabol

Merkezi yani köşesi orjinde ve odağı koordinat eksenlerinde olan parabollere denir. Odağı x ekseni üzerinde olanlar ve odağı y ekseni üzerinde olanlar olarak ikiye ayırabiliriz:

1. Odağı x-Ekseni Üzerinde Olan Merkezil Paraboller:

a. Odak pozitif x-ekseninde ise;

Bu durumda, F odak noktasının koordinatları F(p/2, 0) ve d doğrultman doğrusunun denklemi   

x= -p/2 olur.

Şekilde de görüldüğü gibi P(x,y) noktası parabol üzerinde bir nokta olsun. Parabol tanımından parabol üzerindeki bir nokta olan P noktasının odak noktası F'e ve doğrultman doğrusuna uzaklığı eşit olmalıdır. O halde parabolümüzün denklemini çıkarmaya bu uzaklıkları bulup eşitleyerek devam edelim.

                                                     

Sonuç: Odağı x ekseninde olan ve tepe noktası orjinde bulunan, F(p/2,0) odaklı parabolün denklemi          

     

Şekilde de görebildiğimiz bu parabolün simetri ekseni Ox eksenidir.

b. Odak negatif x ekseninde ise;

Bu durumda, F odak noktasının koordinatları F(-p/2,0) ve doğrultman doğrusu x=p/2 olur.

Aynı şekilde, parabol üzerinde bir P(x,y) noktası alınır ve parabol üzerindeki bir nokta olan P noktasının odak noktası F'e ve doğrultman doğrusuna uzaklıklarının eşit olması göz önünde bulundurularak işlemler yapılır.

Sonuç: Odağı x ekseninde ve tepe noktası orjinde bulunan, F(-p/2,0) odaklı parabolün denklemi

Aynı şekilde, şekilde de görüldüğü gibi bu parabolün simetri ekseni Ox eksenidir.

2. Odağı y-Ekseni Üzerinde Olan Merkezil Paraboller:

a. Odak pozitif y ekseninde ise;

Bu durumda, F odak noktasının koordinatları F(0, p/2) ve doğrultman doğrusu y= -p/2 olur.

Daha önce de yaptığımız şekilde parabol üzerinden bir P(x,y) noktası alınır ve gerekli uzaklıklar yazılarak parabol tanımı uygulanır.

Sonuç: Odağı y ekseninde ve tepe noktası orjinde bulunan, F(0, p/2) odaklı parabolün denklemi 

Şekilden de görebildiğimiz gibi bu parabolün simetri ekseni Oy eksenidir.

b. Odak negatif y ekseninde ise;

Bu durumda, F odak noktasının koordinatları F(0, -p/2) ve doğrultman doğrusu y=p/2 olur.

Parabol üzerinde alınan bir nokta ile uzaklık hesabı yapılıp, parabol tanımı uygulanırsa parabolün denklemi bulunur.

Sonuç: Odağı y ekseninde ve tepe noktası orjinde bulunan, F(0, -p/2) odaklı parabolün denklemi

Bu parabolün simetri ekseni yine Oy eksenidir.

Not: Bir merkezil parabol denkleminde, x değişkeni birinci dereceden ise simetri ekseni x ekseni, y değişkeni birinci dereceden ise simetri ekseni y eksenidir. İncelediğimiz dört durumdan rahatça gözlemleyebileceğimiz bir çıkarımdır.

Buraya kadar gördüğümüz tanımları ve özellikleri uygulama vakti geldi. Belki de çalışırken gözünüz korkmuş olabilir fakat şimdi göreceğimiz uygulamalar konunun daha iyi anlaşılmasına yardımcı olacaktır.

Örnek 1: Bir merkezil parabolün doğrultman doğrusu x = -2 ve simetri ekseni Ox eksenidir. Tepe noktası orijin olan bu parabolün odak noktasının koordinatlarını bulalım. Bu parabolün denklemini yazalım.

Çözüm 1: Verilen parabolün doğrultman doğrusu x= -2 simetri ekseni Ox ekseni ve tepe noktası orjin olarak verilmiş.

 Konu kısmında belirttiğimiz gibi, doğrultman doğrusu x= -p/2 doğrusudur ve  -2= -p/2 ise p=4 olarak bulunur. Odak noktasının koordinatlarını F(p/2, 0) olarak belirttiğimizden parabolün odağı F(4,0) olur.

 Son olarak da bulduklarımızı denklemimizde yerine yerleştirirsek;

 y² =2px ise verilen parabolün denklemi y² =8x olarak bulunur.

  

Not: Blogumuzun amacı konumuzu klasik konu anlatımlarından farklılaştırmak, anlaşılabilirliği arttırmak ve görsellerle konuyu kavramayı hızlandırmaktır. Size önerebileceğimiz geometri grafik çizim programlarda biri olan NuCalc ile sorularda bulduğumuz parabol denklemlerinin çizimine bakıp inceleyebiliriz. Yeteri kadar örnekte denklemleri görselleştirebilirsek önünüze çıkan her türlü sorunun şeklini aklınızda canlandırabileceğinizi göreceksiniz.

Örnek 2: Denklemi x²=16y olan parabolün odağını ve doğrultman denklemini bulup grafiğini çizelim.

Çözüm 2: Konumuzda gördüğümüz gibi x²=2py şeklindeki parabol, odağı F(0, p/2) ve doğrultman doğrusu y= -p/2 olan merkezil paraboldür.

Dolayısıyla, 2p=16 ise p=2 olur ve parabolün odağı F(0, 1), doğrultma doğrusu ise y= -1 doğrusu olarak bulunur.

Grafiğimizi yine NuCalc programı ile oluşturabiliriz;

Örnek 3: Köşesi orijin, doğrultman doğrusunun denklemi x = 2 olan parabol, P(-2, y) noktasından geçmektedir. Buna göre parabolün denklemini yazalım. Bu parabol üzerindeki p noktasının ordinatı olan y nin değerinin kaç olduğunu bulalım.

Çözüm 3: Köşesi orijin ve doğrultman doğrusu Oy eksenine paralel olan parabolün denklemi

 y² = -2px dir ve doğrultman doğrusunun denklemi x=p/2 dir. Dolayısıyla,  2=p/2 ise p=4 olur.

Parabol denklemi  y² = -2px olduğundan y² = -8x olur.

Soruda belirtildiği üzere P(-2,y) noktası parabol üzerinde bir nokta ise parabol denklemini sağlar:

y² = (-8)(-2)= 16 olduğundan y= 4 ve y= -4 olarak bulunur.

Örnek 4: Denklemi x= -3 olan doğruya ve F(3,0) noktasına eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yerini bulalım.

Çözüm 4:Doğruya ve F noktasına eşit uzaklıkta olan bir nokta P(x,y) olsun. Bu nooktanın x= -3 doğrusuna ve F(3,0) noktasına olan uzaklıklarını bulup eşitleyelim.

Parabolün tanımını yaparken sabit bir F noktasına ve d doğrusuna eşit uzaklıkta olan noktalar kümesi olduğunu belirtmiştik. Dolayısıyla soruda verilen bilgilere bakıldığında istenen geometrik yerin bir parabol olduğunu kolayca anlayabiliriz. Aynı şekilde, programı kullanarak şekli rahatça elde edebilirsiniz.

• Evet arkadaşlar, konumuzun anlatımı ve çözümlü örnekleri buraya kadardı. Şimdi size hem tekrar niteliğinde olabilecek hemde birkaç değişik soru tarzıyla ilginizi çekebilecek bir video ekledim, isterseniz izleyebilirsiniz:)

• Buraya kadar öğrendiğiniz bilgileri test edebileceğiniz sorular ise aşağıdadır. Testin amacı konu çalışması ve örnek sorular incelendikten sonra yapılan uygulamalarla anlaşılmayan yerlerin belirlenip, sizi gerekli tekrarlara yöneltmesidir. Sizin uğraşıp öğrenebilmeniz için çözümleri vermedim ama anlamadığınız bir şey olduğunda sayfaya yorum yapabilir veya bize mail atabilirsiniz:)

      

KENDİMİZİ TEST EDELİM

1) y= 4x² parabolünün denklemi nedir?

              a)     y= -1                              d) y= -1/16

                  b)  x= -1                               e) x= -1/8

                     c)y= -1/16

2) y= ¼ x²+1 parabolünün odağının koordinatlarını bulunuz.

                   a) (1,0)                                 d) (0,2)

                b)  (0,1)                                 e) (0,0)

                    c)  (2,0)

3) Bir parabolün simetri ekseni Ox eksenidir. P(1,2) noktasından geçen, bu merkezil parabolün denklemi nedir?

                    a)  y²= 4x                                          d) x²= 16y

                 b) x²= 4y                                  e) y²= 8x

                     c) y²= 2x  

     4) 

  Şekilde görüldüğü gibi odağı F(0, -4) ve doğrultman denklemi y=4        olan parabolün denklemi nedir?
    
   a) x²= -4y                            d) x²=  -16y
             

            b)  y²= 2x                     e) x²= 16y

         c)  x²= -8y

     5) Köşesi A(-2, -3) ve odağı  F(1, -3) olan parabolün x eksenini kestiği noktanın apsisini bulunuz.
     
           a)  -2/5                                  d) 0
      
           b) -5/4                                   e) 4

           c) 3/4
   



Cevap Anahtarı: 1)a , 2)d , 3)a , 4)d, 5)b 

• Arkadaşlar, umarım size faydalı olabilecek bir yazı olmuştur, yararlandığım kaynakları aşağıda sizlerle paylaşiyorum bakabilirsiniz. Yazılarımızın devamı ve eğlenceli konu anlatımlarımız devam edecektir, blogumuzu takip edebilirsiniz:) Başarılar dilerim.

KAYNAKÇA:

Grafik çizim: Geometer's Skecthpad & NuCalc grafik çizdirme programları

 Konu anlatımı: 
       Kaynak 1
       Kaynak 2
       Kaynak 3
                      
  Video: Video