ÇEMBER DENKLEMİ
ÇEMBER: Düzlemde sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar kümesine çember denir.Sabit noktaya çemberin merkezi,eşit uzaklığa çemberin yarıçapı denir.
Çemberin Standart Denklemi
M ile P noktaları arasındaki uzaklık│MP│ ═ r ═ √(x-a)2+ (y-b)2
dir. Buna göre (x-a)2+
(y-b)2 = r2 olur. Sonuç olarak merkezi M(a,b), yarı çapı
r olan çemberin standart denklemi
(x-a)2+ (y-b)2
= r2 dir
Örnek:
Koordinat sisteminde merkezi M(2,-4) ve yarı çapı 5 birim
olan çemberin denklemi nedir ?
Çözüm:
Çemberin merkezi M(2,-4) olduğundan a=2,b= -4 ve yarıçapı r=5 br dir.
Çemberin denklemi (x-2)2 + (y-(-4))2
= 52
(x-2)2
+ (y+4)2 = 25 olarak bulunur.
Örnek:
Koordinat sisteminde denklemi
(x+4)2 + (y-6)2 = 24 olan çemberin merkezi ve yarıçap
uzunluğu kaç br dir?
Çözüm:
Denklemi (x+4)2 + (y-6)2 = 24 olan
çemberde a= -4 , b= 6 ve yarıçapı r = 2√6 br dir.Buna göre çemberin merkezi M(-4,6) ve r = 2√6 br olarak bulunur.
Aşağıda ise "NuCalc" veya diğer ismiyle "Graphing Calculator" diye bilinen program ile çizdiğim yarıçapı 2 br olan çember bulunmaktadır.
Merkezil Çember Denklemi
Koordinat sisteminde merkezi,başlangıç noktası olan ve r
yarıçaplı çembere merkezil çember denir.Merkezi O(0,0), yarıçapı r olan merkezil çemberin denklemi
x2 + y2= r2 dir
Örnek:
Koordinat sisteminde üzerindeki bir noktası K(-5,12) olan
merkezil çemberin denklemi ne dir?
Çözüm
Çemberin merkezi orijin O(0,0) olduğundan │KO│= r
olacaktır.
r = │KO│= √((-5-0)2
+(12-0)2)
=13 br dir. Buradan çemberin
denklemi
x2
+ y2 = 132
x2 + y2 = 169 olarak bulunur.
Merkezi Eksenler
Üzerinde Bulunan Çember Denklemleri
Merkezi x Ekseni üzerinde Bulunan Çember Denklemleri
Çemberin merkezi x ekseni üzerinde olduğundan ordinatı
sıfırdır.
Çemberin denklemi (x-a)2 + y2 = r2
dir
Merkezi
y Ekseni üzerinde Bulunan Çember Denklemleri
Çemberin merkezi y ekseni üzerinde olduğundan apsisi
sıfırdır.
Çemberin denklemi x2
+ (y-b)2 = r2
dir.
Eksenlere Teğet
Olan Çember Denklemleri
x eksenine teğet olan çemberin yarı çap uzunluğu ile merkez noktasının
ordinatının mutlak değeri birbirne eşittir.
Şekildeki çemberin denklemi (x-a)2 + (y-r)2
= r2 dir
y eksenine teğet olan çemberin yarı çap uzunluğu ile merkez noktasının
apisisinin mutlak değeri birbirne eşittir.
Şekildeki çemberin denklemi (x-r)2 + (y-b)2
= r2 dir
Her İki Eksene de Teğet Olan
Çember
Her iki eksene teğet olan çemberin yarı çap uzunluğu ile merkez noktasının
kordinatlarının mutlak değeri birbirne eşittir.
Şekilde belirtilen çemberin denklemi (x-r)2 +
(y-r)2 = r2 dir.
Örnek:
Koordinat sisteminde yarıçap uzunluğu 8 br, merkezi
2.bölgede olup her iki eksenede teğet olan çemberin denklemi nedir ?
Çözüm:
Her iki eksene teğet olduğundan çember denklemi;
(x-(-8))2 + (y-8)2 = 82
(x+8)2 + (y-8)2 = 64 olarak bulunur
ÇEMBERİN GENEL DENKLEMİ
Merkezi M(a,b) , yarıçapı r olan
çemberin standart denklemi (x-a)2 + (y-b)2 = r2
dir.Bu denklem açık şekilde yazılırsa,
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
olur. Eşitlikte D=-2a, E=-2a ve F= a2+b2-r2
denirse
x2+y2+Dx+Ey+F=O
ifadesi çemberin genel denklemidir.
Bu denkleme göre çemberin merkezi
M((-D/2),(-E/2)) ve yarıçapı r = √(a2+b2-F) veya
2r =√(D2+E2-4F )
olarak bulunur. Ayrıca D2+E2-4F değerine çemberin
diskriminantı denir.
x2+y2+Dx+Ey+F=O
denkleminde,
1) D2+E2-4F >0 ise denklem çember belirtir.
2) D2+E2-4F=
0 ise denklem çember değil, M((-D/2),(-E/2)) noktasını belirtir.
3) D2+E2-4F <0 ise denklem boş küme belirtir.
Örnek:
Koordinat
sisteminde denklemi, x2+y2+8x-2y+8=0
olan çemberin merkezi ve yarı çapı nedir?
Çözüm:
Belirtilen çember denkleminde D=8,E=-2 ve F=8 dir. Buna
göre çemberin merkezi M(-4,1) ve yarı
çapı r = √((-4)2 +12
- 8)=3 br bulunur.
Çember Dışındaki
Bir Noktadan Çizilen Teğet Denklemi
Çembere dışındaki bir noktadan iki tane teğet doğrusu
çizilebilir .
(x-a)2 + (y-b)2 = r2 denklemli çembere dışındaki K(x1,y1)
noktasına çizilen teğetin denklemi y=mx+n olsun.
K(x1,y1) noktası y=mx+n doğrusunu
denklemini sağladığında y1= mx1+n dir
Bununla birlikte çember merkezinin teğet doğrusuna uzaklığı
çember yarı çap uzunluğuna eşittir.
│MT│= r = │ma-b+n│/(1+√(m2)
olur.Ortak çözümden m1,m2,n1 ve n2
degerleri
bulunur.Buradan teğet doğrularının denklemleri y=m1x+n1 ve
y= m2x+ n2 dir.
Örnek:
Koordinat sisteminde K(8,-2) noktasından (x-3)2 + (y+1)2 =
8 denklemli çembere çizilen teğet
doğrularının denklemleri nedir ?
Çözüm
Teğet doğrularının
denklemleri y=mx+n biçiminde olsun K(8,-2) noktası doğru denklemini
sağladığından -2 = 8m+n olur.
Ayrıca, r2(m2+1) = (ma-b+n)2
eşitliğinden,
8(m2+1)
=(3m+1+n)2
8(m2+1) =(3m+1-2-8m)2
8m2+8 = (-1-5m2)
8m2+8=
1+ 25m2 +10m
17m2 + 10m – 7 bulunur.
m1= -1 ve m2= 7/17 bulunur
-2 = 8m+n eşitliğinde m değerleri yerine yazılırsa n1=
6 ve n2= -90/17 olur.Sonuç olarak teğet doğruların denklemleri;
y= -x+6 ve y= (7x/17) -
(90/17) olarak bulunur
İki Çemberin
Birbirine Göre Konumları
Merkezleri M1 ve M2 yarıçapları r1 ve
r2 olan çemberlerin merkezleri arasındaki uzaklık │M1M2│
= d olsun.
d >r1
+ r2 ise çemberler birbirinin dışındadır,kesişmezler.
d=r1
+ r2 ise çemberler birbirine dıştan teğettir.
│r1 – r2│< d < r1 +
r2 ise çemberler iki farklı noktada kesişir. m(M1ÂM2) = 90˚ ise çemberler dik
kesişiyor denir.
d= r1 – r2 ise çemberler birbirine
teğettir
d<│r1 – r2│ ise çemberler iç içedir,
kesişmezler.
Örnek:
Koordinat sisteminde yarıçap uzunluğu 6 birim olan merkezil
çember ile (x-8)2 + (y+6)2 = r2
Çemberi birbirine dıştan teğet ise r kaç birimdir?
Çözüm
Çemberlerin merkezleri olan orjin ile M(8,-6) noktaları
arasındaki uzaklık
│OM│= √82
+ (-6)2 = 10 birimdir. Buna göre,
Çemberler dıştan teğet olup
10=6+r
ise r=4 birim bulunur.
Artık öğrendiklerimizi test etme zamanı geldi.Aşağıdaki örnekler umarım sizlere katkı sağlar. Konu ile herhangi bir problemle karşılaşırsanız lütfen bana ulaşın. Başarı sizinle olsun.
SIRA SİZDE :)
M merkezli çember OB ve Ox doğrularına A ve B noktalarında
teğettir. A(6√3,0) ise çemberin
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
Örnek: Koordinat
sisteminde K(-3,k) noktası, x2+y2-2x-4y-20=0 çemberinin
iç bölgesinde ise k nın alabileceği değer aralığı nedir?
Çözüm:
x2+y2-2x-4y-20=0 çemberinin merkezi
M(1,-2) ve yarıçapı:
r=√(12+(-2)2-(-20))=5
br dir.
K noktası çemberin içinde olduğundan
│MK│ =√((-3-1)2-(k-(-2))2) <5
16-(k-2)2
<25
(k+2)2
<9
-3<
k+2< 3
-5< k < 1 bulunur.
Çember
Demeti
Koordinat sisteminde denklemleri,
x2+y2+D1x+E1y-F1=O
x2+y2+D2x+E2y-F2=O
olan çemberlerin birbirine göre konumunu incelerken bu denklemin oluşturduğu
sistemin çözümüne bakalım.
Denklemler
taraf tarafa çıkartılır ise elde edilen (D1 – D2)
x + (E1 – E2)y -F1-F2=O denklemini
iki çemberin ortak kirişi üzerinde bulunduran doğrunun denklemidir. Bu
denklemden x veya y çekilerek çember denklemlerinde yerine yazılırsa ikinci
dereceden bir bilinmeyenli denklem elde edilir. Bu denklemin diskriminantı ∆
olsun.
1) ∆ < 0 ise çemberler kesişmezler
2) ∆ > 0 ise çemberler birbirine teğettir.
3) ∆ ═0 ise çemberler A ve B gibi iki farklı noktada kesişir.
A
ve B noktalarından geçen çemberler bir çember demeti oluşturur. Bu çember
demetinin denklemi,
x2+y2-D1x+E1y+F1+k(x2-y2+D2x+E2y-F2)=O
biçimindedir.
Örnek: Koordinat
sisteminde x2- y2
= 49 ve x2-y2-12x-16y-84= 0 çemberleri veriliyor. Bu
çemberlerin ortak kirişini üzerinde bulunduran doğrunun denklemi nedir?
Çözüm:Verilen
çember denklemleri taraf tarafa çıkartılırsa istenilen doğrunun denklemi
bulunabilir.
x2+y2-12x-16y-84=0
x2+ y2-49 =0
işlem yapıldığında -12x – 16y – 133 = 0 denklemi istenen
doğrunun denklemidir.
Çemberin
Parametrik Denklemi:
0≤ α ≤ 2π olmak
üzere merkezil
çemberin parametrik denklemi,
x=cosα ve y=sinα olarak bulunur.
Örnek: Koordinat
sisteminde yarıçap uzunluğu 4 birim olan merkezil çemberin parametrik denklemi
nedir?
Çözüm:Merkezil
çemberlerin parametrik denklemi,
x=rcosα ve y=rsinα biçiminde olduğundan x=4cosα ve y=4sinα olarak bulunur.
İlgi çekeceğini düşündüğümden dolayı bu videoyu ekliyorum. Yapılan gösteride çemberleri göreceksiniz. Umuyorum matematik ve geometriye farklı bir bakış açısı kazandırır.
1.Merkezi (-2,1) olan ve
P(3,4) noktasından geçen çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (x-2)2 + (y + 1)2 = 34
B) (x+6)2 + (y –8)2 = 25
C) (x+2)2 + (y -1)2 = 34
D) (x-2)2 + (y – 8)2 = 25
E) (x-2)2
- (y – 1)2 = 16
2.Merkezi
(-3,1) olan çember 5x+12y-4=0 doğrusuna teğettir. Çemberin yarıçapı kaç
birimdir?
A)1 B)17/13 C)
2 D)23/13 E) 27/13
3.A(12,0) ve B(0,16) noktalarından ve orijinden geçen
çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (x-8)2 + (y – 6)2 = 100
B) (x+6)2 + (y –8)2 = 100
C) (x+8)2 + (y + 6)2 = 100
D) (x-6)2 + (y – 8)2 = 100
E) (x-8)2 - (y – 6)2 = 100
4.(n+3)x2 + y2 + -4y + (m-2)xy +
(m-n)x – 8 =0 denklemi bir çember belirttiğine göre, bu çemberin yarıçapı kaç
birimdir?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
5.
M merkezli çember OB ve Ox doğrularına A ve B noktalarında
teğettir. A(6√3,0) ise çemberin
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (x-6√3)2
+ (y-2√3)2 = 18
B) (x-6√3)2
+ (y-6)2 = 18
C) (x-6)2 + (y-6√3)2 = 18
D) (x-6√3)2
+ (y-6)2 = 36
E) (x-6√3)2
+ (y-6√3)2 = 36
CEVAPLAR:1C/2E/3D/4D/5D
KAYNAKÇA:
1.Çizimde kullanılan programlar: a.The Geometer's Sketchpad
b.Graphing Calculator (NuCalc)
2.Yararlanılan kaynaklar: a.Geometri ,Mehmet ŞAHİN, Palme Yayıncılık,2011
b.Analitik Geometri,Serdar OKÇU, Asel Yayınları,2013
c.Ortaöğretim Matematik Öğ. Geometri Kitabı,İhtiyaç
Yay.2015
d.Analitik Geometri ,Komisyon Yayınları,2009
x2+y2=16 çemberinin 4x+3y-1=0 doğrusuna dik olan teğetlerini ve değme noktalarını bulunuz lütfen bulmamda yardımcı olur musunuz
YanıtlaSilEmeğiniz için teşekkür ederim
YanıtlaSil