Materyal Tasarım

Konularla ilgili olarak hazırlamış olduğumuz "Materyal Tasarımlar" sizlere örnek olması maksadıyla aşağıda sunulmuştur. Her farklı rengin neyi ifade ettiğini, her farklı kesimin neyi çağrıştırdığını bulun bakalım:)

Ziyaretçi Defteri

İletişim: egitimmoduluu@gmail.com

Soru ve görüşleriniz için bize yazın :)
Kullanıcı adı
E-posta adresi
Şehir
Mesajınız
kayıtları oku

Rasyonel Gerekçe ve Kazanımlar

         

         Matematikçiler çoğu zaman birçoklarının gereksiz gördüğü işlerle uğraşırlar ve yüzyıllar sonra  bu gereksiz sanılan işlerin aslında çok gerekli olduğu anlaşılır. Matematikçiler bu " gereksiz " işlere
 sadece güzelliklerinden dolayı ilgi duyarlar. Nedeni pek bilinmez ama matematikçilere güzel      görünen, bir zaman sonra insanoğluna hep gerekli, yararlı ve vazgeçilmez olmuştur.


        Çember ve koniklerde bugün insanoğlu için vazgeçilmez unsurlardandır; nereye baksak bir örneğini görmek mümkün. Çember ve konikler hakkında daha çok bilgi sahibi olmak amacıyla blogumuzu " Çember ve Koniklerin Analitik İncelemesi " hakkında hazırlamaya karar verdik.

       Öncelikle blogun amaçlarından bahsedelim:

AMAÇLAR:

Çember:

• Merkezinin koordinatları ile yarıçapının uzunluğu verilen bir çemberin denklemini yazma
• Denklemleri verilen doğru ve çemberin birbirine göre durumlarını inceler.
• Çember üzerindeki bir noktadan çembere çizilen teğet ve normal denklemlerini oluşturur.

Elips:

•  Elipsin odakları, köşeleri, merkezi, asal ekseni ve yedek ekseni tanıtılır.
•  Elipsin denklemi oluşturulur ve denklemden elipsin bütün özellikleri elde edilir.
• Merkezil elipsin denklemi yazılır ve elipsin tüm özellikleri çıkarılır.

Hiperbol:

• Hiperbolün odakları, köşeleri, merkezi, asal ekseni ve yedek ekseni tanıtılır.
• Hiperbolün denklemi oluşturulur ve denklemden hiperbolün tüm özellikleri elde edilir.
• Merkezil elips tanımlanır, odak noktasının bulunduğu yere göre denklemler oluşturulur.

Parabol:

• Parabolün odağı, doğrultmanı, köşesi ve ekseni tanıtılır.
• Doğrultman doğrusunun denklemi ve odak noktasının koordinatları verien parabolün deklemi yazılır.
• Merkezil elips tanımlanır, odak noktasının bulunduğu eksene göre denklemler oluşturulur.

KAZANIMLAR:

• Yarıçapı ve merkezi verilen çemberin denklemini elde etme ve ulaşılan denklemi kullanarak çemberi inceleme
• Odakları verilen hiperbol ve elipsin, doğrultmanı verilen parabolün denklemlerini oluşturma

   Amaçlaarımızdan ve yazı dizimizin sonunda edineceğiniz kazanımların sonrasında kendimize sormamız gereken bir konu var : Nasıl çalışmalıyız  ? Bunun için size birkaç tavsiyemiz var :

     NASIL ÇALIŞMALIYIZ ? 

• Konunun başından itibaren anlaşılmayan kısımları geçmeden, disiplinli bir şekilde çalışmalıyız. Çünkü konulara kolaydan zora, basitte karmaşığa doğru gitmektedir.
• Konu içindeki çözümlü örnekler dikkatle çözülmeli, anlaşılmayan kısımlar tekrar edilmelidir.
• Çemberin ve koniklerin özellikleri iyi öğrenilmelidir.
• Konu sonunda verilen değerlendirme testleri çözülmelidir.

  Şimdi çalışmaya başlayabilirsiniz, kolay gelsin :)

Çemberin Analitik İncelemesi

ÇEMBER DENKLEMİ

 

 

      Yaşamımızda matematik ve geometriden ayrı olmamız söz konusu olamaz. Elbette ki günlük yaşamımızda birçok matematiksel ve geometrik kavramla bir aradayız.Vapur ya da gemiye binerken veya denizde yüzen insanlar üzerinde gördüğümüz can simidi, bunlardan sadece bir tanesi. Bu geometrik şekle çember diyoruz. Gelin şimdi çember konusuna bir göz atalım. 

 

 

 

 

ÇEMBER: Düzlemde sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar kümesine çember denir.Sabit noktaya çemberin merkezi,eşit uzaklığa çemberin yarıçapı denir. 

 

Çemberin Standart Denklemi 

M ile P noktaları arasındaki uzaklık│MP│ ═  r ═  √(x-a)²+ (y-b)² dir. Buna göre (x-a)²+ (y-b)² = r² olur. Sonuç olarak merkezi M(a,b), yarı çapı r olan çemberin standart denklemi 

(x-a)²+ (y-b)² = r²  dir

 

Örnek:



Koordinat sisteminde merkezi M(2,-4) ve yarı çapı 5 birim olan çemberin denklemi nedir ?

 

Çözüm: 

Çemberin merkezi M(2,-4) olduğundan  a=2,b= -4 ve yarıçapı r=5 br dir. 

Çemberin denklemi (x-2)² + (y-(-4))² = 5²

                                                        (x-2)² + (y+4)² = 25 olarak bulunur. 

Örnek:

Koordinat sisteminde denklemi (x+4)² + (y-6)² = 24 olan çemberin merkezi ve yarıçap uzunluğu kaç br dir? 

Çözüm:

Denklemi (x+4)² + (y-6)² = 24 olan çemberde  a= -4 , b= 6 ve yarıçapı  r = 2√6 br dir.Buna göre çemberin merkezi M(-4,6) ve r = 2√6 br olarak bulunur.

 NOT:Çemberi mevcut bilgisayar programları ile de kolayca çizebiliriz. örnek olarak aşağıda "The Geometer's Sketchpad (GSP)" ile çizdiğim O merkezli çember bulunmaktadır.

 

 

         Aşağıda ise "NuCalc" veya diğer ismiyle "Graphing Calculator" diye bilinen program ile çizdiğim yarıçapı 2 br olan çember bulunmaktadır.

Merkezil Çember Denklemi 
 

 

 

Koordinat sisteminde merkezi,başlangıç noktası olan ve r yarıçaplı çembere merkezil çember denir.Merkezi O(0,0), yarıçapı r olan merkezil çemberin denklemi x² + y²= r² dir

 

Örnek:

Koordinat sisteminde üzerindeki bir noktası K(-5,12) olan merkezil çemberin denklemi ne dir?

 

Çözüm

 

Çemberin merkezi orijin O(0,0) olduğundan │KO│= r olacaktır. 

r = │KO│= √((-5-0)² +(12-0)²)

                 =13 br dir. Buradan çemberin denklemi

                 x² + y² = 13²

                        x² + y² = 169 olarak bulunur.

 

Merkezi Eksenler Üzerinde Bulunan Çember Denklemleri 

Merkezi  x Ekseni üzerinde Bulunan Çember Denklemleri 

Çemberin merkezi x ekseni üzerinde olduğundan ordinatı sıfırdır. 

 

Çemberin denklemi (x-a)² + y² = r² dir

 

       Merkezi  y Ekseni üzerinde Bulunan Çember Denklemleri 

Çemberin merkezi y ekseni üzerinde olduğundan apsisi sıfırdır.

 

Çemberin denklemi  x² + (y-b)²  = r² dir.

 

Eksenlere Teğet Olan Çember Denklemleri

               x  Eksenine Teğet Olan Çember 

 

x eksenine teğet olan çemberin  yarı çap uzunluğu ile merkez noktasının ordinatının mutlak değeri birbirne eşittir.

Şekildeki çemberin denklemi (x-a)² + (y-r)² = r² dir

                 y  Eksenine Teğet Olan Çember

 

y eksenine teğet olan çemberin  yarı çap uzunluğu ile merkez noktasının apisisinin mutlak değeri birbirne eşittir.

 

Şekildeki çemberin denklemi (x-r)² + (y-b)² = r² dir

 

                 Her İki Eksene de Teğet Olan Çember 

Her iki eksene teğet olan çemberin  yarı çap uzunluğu ile merkez noktasının kordinatlarının mutlak değeri birbirne eşittir.

Şekilde belirtilen çemberin denklemi (x-r)² + (y-r)² = r² dir.

 

Örnek:

Koordinat sisteminde yarıçap uzunluğu 8 br, merkezi 2.bölgede olup her iki eksenede teğet olan çemberin denklemi nedir ?

 

Çözüm:

 

Her iki eksene teğet olduğundan çember denklemi;

                                              (x-(-8))² + (y-8)² = 8²  

                                              (x+8)² + (y-8)² = 64 olarak bulunur

 

ÇEMBERİN GENEL DENKLEMİ

Merkezi M(a,b) , yarıçapı r olan çemberin standart denklemi (x-a)² + (y-b)² = r² dir.Bu denklem açık şekilde yazılırsa, 

x²+y²-2ax-2by+a²+b²-r²=0 olur. Eşitlikte D=-2a, E=-2a ve F= a²+b²-r² denirse  

x²+y²+Dx+Ey+F=O ifadesi çemberin genel denklemidir. 

Bu denkleme göre çemberin merkezi M((-D/2),(-E/2)) ve yarıçapı r = √(a²+b²-F)  veya 

2r =√(D²+E²-4F)  olarak bulunur. Ayrıca D²+E²-4F değerine çemberin diskriminantı denir.

 

                 x²+y²+Dx+Ey+F=O denkleminde,

1)    D²+E²-4F >0 ise denklem çember belirtir. 

2)    D²+E²-4F= 0 ise denklem çember değil, M((-D/2),(-E/2)) noktasını belirtir. 

3)    D²+E²-4F <0 ise denklem boş küme belirtir.

Örnek:

       Koordinat sisteminde denklemi,  x²+y²+8x-2y+8=0 olan çemberin merkezi ve yarı çapı nedir?

Çözüm:

Belirtilen çember denkleminde D=8,E=-2 ve F=8 dir. Buna göre çemberin merkezi M(-4,1)  ve yarı çapı r = √((-4)² +1² - 8)=3 br bulunur.

 

Çember Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğet Denklemi

Çembere dışındaki bir noktadan iki tane teğet doğrusu çizilebilir .

 

(x-a)² + (y-b)² = r²   denklemli çembere dışındaki K(x₁,y₁) noktasına çizilen teğetin denklemi y=mx+n olsun. 

K(x₁,y₁) noktası y=mx+n doğrusunu denklemini sağladığında y₁= mx₁+n dir

Bununla birlikte çember merkezinin teğet doğrusuna uzaklığı çember yarı çap uzunluğuna eşittir. 

│MT│= r = │ma-b+n│/(1+√(m²)   olur.Ortak çözümden m₁,m₂,n₁ ve n₂ degerleri

bulunur.Buradan teğet doğrularının denklemleri y=m₁x+n₁     ve   y= m₂x+ n_{2 dir.}

 

Örnek:

Koordinat sisteminde K(8,-2) noktasından (x-3)² + (y+1)² = 8   denklemli çembere çizilen teğet doğrularının  denklemleri nedir ? 

Çözüm

Teğet doğrularının denklemleri y=mx+n biçiminde olsun K(8,-2) noktası doğru denklemini sağladığından -2 = 8m+n olur.

Ayrıca, ^r2(m²+1) = (ma-b+n)² eşitliğinden,

8(m²+1) =(3m+1+n)²

8(m²+1) =(3m+1-2-8m)²

8m²+8 = (-1-5m²)

 

 8m²+8= 1+  25m²  +10m 

17m² + 10m – 7 bulunur. 

m₁= -1 ve m₂= 7/17 bulunur

 

-2 = 8m+n eşitliğinde m değerleri yerine yazılırsa n₁= 6 ve n₂= -90/17 olur.Sonuç olarak teğet doğruların denklemleri; 

y= -x+6 ve y= (7x/17) -  (90/17) olarak bulunur

 

İki Çemberin Birbirine Göre Konumları

 

Merkezleri M₁ ve M₂ yarıçapları r1 ve r2 olan çemberlerin merkezleri arasındaki uzaklık │M₁M₂│ = d olsun. 

d >r_{1 +} r₂ ise çemberler birbirinin dışındadır,kesişmezler. 

d=r₁ + r₂ ise çemberler birbirine dıştan teğettir. 

│r₁ – r₂│< d < r₁ + r₂ ise çemberler iki farklı noktada kesişir. m(M₁ÂM₂) = 90˚ ise çemberler dik kesişiyor denir. 

 

 

 

d= r₁ – r₂ ise çemberler birbirine teğettir 

 

 

 

 

d<│r₁ – r₂│ ise çemberler iç içedir, kesişmezler.

 

 

 

Örnek:

Koordinat sisteminde yarıçap uzunluğu 6 birim olan merkezil çember ile (x-8)² + (y+6)² = r²

Çemberi birbirine dıştan teğet ise r kaç birimdir?

 

Çözüm

 

Çemberlerin merkezleri olan orjin ile M(8,-6) noktaları arasındaki uzaklık 

│OM│= √8² + (-6)² = 10 birimdir. Buna göre, 

Çemberler dıştan teğet olup 

│OM│= │OT│ + │TM│ eşitliğinden
 

          10=6+r ise  r=4 birim bulunur.

Örnek: Koordinat sisteminde K(-3,k) noktası, x²+y²-2x-4y-20=0 çemberinin iç bölgesinde ise k nın alabileceği değer aralığı nedir?

 

Çözüm:

            x²+y²-2x-4y-20=0 çemberinin merkezi M(1,-2) ve yarıçapı:

            r=√(1²+(-2)²-(-20))=5 br dir. 

K noktası çemberin içinde olduğundan │MK│ =√((-3-1)²-(k-(-2))²) <5

                                                                       16-(k-2)² <25

                                                                       (k+2)² <9

                                                                       -3< k+2< 3

                                                                       -5<  k < 1 bulunur.

Çember Demeti

Koordinat sisteminde denklemleri,

            x²+y²+D₁x+E₁y-F₁=O

            x²+y²+D₂x+E₂y-F₂=O olan çemberlerin birbirine göre konumunu incelerken bu denklemin oluşturduğu sistemin çözümüne bakalım.

            Denklemler taraf tarafa çıkartılır ise elde edilen (D₁ – D₂₎ x + (E₁ – E₂)y -F₁-F₂=O denklemini iki çemberin ortak kirişi üzerinde bulunduran doğrunun denklemidir. Bu denklemden x veya y çekilerek çember denklemlerinde yerine yazılırsa ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem elde edilir. Bu denklemin diskriminantı ∆ olsun.

 

1) ∆ < 0 ise çemberler kesişmezler

2) ∆ > 0 ise çemberler birbirine teğettir.

3) ∆ ═0 ise çemberler A ve B gibi iki farklı noktada kesişir.

 

            A ve B noktalarından geçen çemberler bir çember demeti oluşturur. Bu çember demetinin denklemi,

            x²+y²-D₁x+E₁y+F₁+k(x²-y²+D₂x+E₂y-F₂)=O biçimindedir.

 

Örnek: Koordinat sisteminde x²- y² = 49 ve x²-y²-12x-16y-84= 0 çemberleri veriliyor. Bu çemberlerin ortak kirişini üzerinde bulunduran doğrunun denklemi nedir?

 

Çözüm:Verilen çember denklemleri taraf tarafa çıkartılırsa istenilen doğrunun denklemi bulunabilir.

 

             x²+y²-12x-16y-84=0

             x²+ y²-49 =0

 

işlem yapıldığında -12x – 16y – 133 = 0 denklemi istenen doğrunun denklemidir.

 

Çemberin Parametrik Denklemi:
 

 0≤ α ≤ 2π  olmak üzere merkezil çemberin parametrik denklemi,

            x=cosα  ve y=sinα olarak bulunur.

 

Örnek: Koordinat sisteminde yarıçap uzunluğu 4 birim olan merkezil çemberin parametrik denklemi nedir?

 

Çözüm:Merkezil çemberlerin parametrik denklemi,

            x=rcosα  ve y=rsinα biçiminde olduğundan x=4cosα  ve y=4sinα olarak bulunur.

 

 

İlgi çekeceğini düşündüğümden dolayı bu videoyu ekliyorum. Yapılan gösteride çemberleri göreceksiniz. Umuyorum matematik ve geometriye farklı bir bakış açısı kazandırır.

 

 

 

 

Artık öğrendiklerimizi test etme zamanı geldi.Aşağıdaki örnekler umarım sizlere katkı sağlar. Konu ile herhangi bir problemle karşılaşırsanız lütfen bana ulaşın. Başarı sizinle olsun.

SIRA SİZDE :)

1.Merkezi (-2,1) olan ve P(3,4) noktasından geçen çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

 

A) (x-2)² + (y + 1)² = 34

B) (x+6)² + (y –8)² = 25

C) (x+2)² + (y -1)² = 34

D) (x-2)² + (y – 8)² = 25

E) (x-2)² - (y – 1)² = 16

 

2.Merkezi (-3,1) olan çember 5x+12y-4=0 doğrusuna teğettir. Çemberin yarıçapı kaç birimdir? 

A)1         B)17/13           C)  2            D)23/13        E) 27/13

 

3.A(12,0) ve B(0,16) noktalarından ve orijinden geçen çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

 

A) (x-8)² + (y – 6)² = 100

B) (x+6)² + (y –8)² = 100

C) (x+8)² + (y + 6)² = 100

D) (x-6)² + (y – 8)² = 100

E) (x-8)² - (y – 6)² = 100

 

4.(n+3)x² + y² + -4y + (m-2)xy + (m-n)x – 8 =0 denklemi bir çember belirttiğine göre, bu çemberin yarıçapı kaç birimdir? 

 

A)1      B)2      C)3      D)4      E)5

 

 5.

M merkezli çember OB ve Ox doğrularına A ve B noktalarında teğettir. A(6√3,0) ise çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (x-6√3)² + (y-2√3)² = 18

B) (x-6√3)² + (y-6)² = 18

C) (x-6)² + (y-6√3)² = 18

D) (x-6√3)² + (y-6)² = 36

E) (x-6√3)² + (y-6√3)² = 36

 

CEVAPLAR:1C/2E/3D/4D/5D

KAYNAKÇA:

1.Çizimde kullanılan programlar: a.The Geometer's Sketchpad

                                                            b.Graphing Calculator (NuCalc)

2.Yararlanılan kaynaklar: a.Geometri ,Mehmet ŞAHİN, Palme Yayıncılık,2011

                                          b.Analitik Geometri,Serdar OKÇU, Asel Yayınları,2013

                                          c.Ortaöğretim Matematik Öğ. Geometri Kitabı,İhtiyaç Yay.2015

                                         d.Analitik Geometri ,Komisyon Yayınları,2009

 

 

 

Elipsin Analitik İncelemesi

       Elips dediğimde eminim ki hepinizin aklında bir şekil beliriyordur; ama çoğunlukla yumurtanın şeklinin ve dünyanın yörüngesinin şeklinin elips olduğu söylenir. Aslında o kadar uzağa gitmeye gerek yok. Eğer evdeyseniz vitrine, sehpaların üstüne ya da televizyonun üzerine bakmanız yeterli. Nereden mi biliyorum... sizce :)

Tanıdık geldi mi :)

          Evet, resimde gördüğümüz bir elips örneği. O kadar da uzak değilmişsiniz aslında koniklerden değil mi :)  O zaman elips hakkında bir şeyler daha öğrenmeye ne dersiniz?

Tanım: Düzlemde sabit iki noktaya olan uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların geometrik yerine elips denir. Sabit olan iki noktaya elipsin odakları, odakları birleştiren doğru parçasının orta noktasına da elipsin merkezi denir.

Peki bir elips nasıl çizilir? Elips çizmek için üç tane yöntem var: Pergel ile çizim, Paralelkenar yöntemi ve Eşmerkezli daireler yöntemi. Üç yöntemin arasında bana en kolay gelen, "Eşmerkezli daireler yöntemi". Şimdi bu yöntemle elipsi nasıl çizeceğimizi adım adım görelim:

1.Adım:

   Çapları birbirinden farklı olan eş merkezli iki tane daire çizilir.

2.Adım

 Çizilen bu daireler merkezden geçen istenilen sayıda diyagonal ile bölünür.  Diyagonallerin büyük ve küçük daireleri kestiği noktalar işaretlenir.

3.Adım:

 Aynı diyagonal üzerinde, büyük dairedeki noktalardan dikey, küçük dairedeki noktalardan yatay çizgiler çizilerek bu çizgiler kesiştirilir.

4.Adım:
Kesişme noktaları serbest elle veya eğri cetveli yardımıyla birleştirilir.(burada GSP programı yardımı ile yaptık, ancak sadece kağıt kalem de kullanılabilir:)  )

Ve elipsi nasıl oluşturduğumuzu gördük. Şimdi, elipsin merkezinden ve odaklarından bahsedelim. Daha önce tanımlarını vermiştik, bir kez daha tekrarlayalım: Düzlemde sabit olan iki noktaya elipsin odakları, odakları birleştiren doğru parçasının orta noktasına da elipsin merkezi denir .

Şimdi bunları bir de şekil üzerinde görelim:

Yukarıdaki şekilde F(c,0) ve F'(-c,0) odak noktalarıdır. |F'O|=|OF|=c birimdir.

|FF'|= 2c birim uzunluğuna elipsin odaklar arası uzaklığı denir. Yukarıda da belirttiğim gibi, bu uzaklığın orta noktasına da elipsin merkezi denir. Yandaki şekilde O noktası elipsin merkezidir.


Şekilde de görüldüğü gibi |AA'|= 2a birimdir ve |BF| + |BF'| = 2a birimdir. (Neden? )


 


Eğer |AA'|=2a , |BB'|=2b ve  |FF'|=2c denirse,


yandaki şekilden de kolayca görüldüğü gibi
 a² + b² = c²        eşitliği elde edilir.

Bu bize a,b ve c arasında daima şöyle bir sıralamanın olacağını söyler:

     b<a    ve c<a


 

       Elipsin merkezini ve odaklarını öğrendikten sonra, şimdi elipsin köşeleri ve asal eksenlerini tanımlayacağız.

Tanım: Yukarıdaki şekilde A, A', B, B' noktalarına elipsin köşeleri  , [AA'] doğru parçasına elipsin asal ekseni, [BB'] doğru parçasına elipsin yedek ekseni  veya küçük ekseni denir.

Asal eksen uzunluğu |AA'|=  2a birimdir ve yedek eksen uzunluğu |BB'|= 2b birimdir. Elipsin merkezini odak noktaların orta noktası diye tanımlamıştık daha önce; burada başka bir deyişle asal eksen ile yedek eksenin kesişme noktası olarak tanımlayabiliriz.

Elipsin merkezi her zaman (0,0) noktası olmayabilir. Ancak merkezi (0,0) olan elipslere merkezil elips denir.

Şimdi, elipsin merkezini, odaklarını, köşelerini ve eksenlerini nasıl belirlediğimiz ile ilgili bir örnek görelim:

  

Buraya kadar elips denklemi oluşturabilmek için gerekli olan temel bilgileri öğrendik. Şimdi elips denkleminin nasıl oluşturulduğuna geçebiliriz:


Merkezil Elips Denklemi:

• Merkezi orijin ve eksenleri koordinat eksenleri olan elipse merkezil elips denildiğinden bahsetmiştik. x eksenini (a,0) ve (-a,0) noktasında , y eksenini (0,b) ve (0, -b) noktasında kesen  elipsin denklemi :

NOT: 

         Merkezil elips, odak noktalarının x ve y eksenleri üzerinde olması durumu gözetilerek iki farklı 

durumda incelenebilir: 

a)  

Elipsin denkleminin  ne olduğundan biraz önce bahsetmiştik. Paydadaki a ve b değerleri, yani asal 

eksen ve yedek eksenin koordinatları bize elipsin odaklarının x veya y ekseni üzerinde olduğunu 

işaret eder. Elipsin odakları x ekseni üzerindedir eğer şu şart sağlanırsa :

Şimdi bunu bir örnekle pekiştirelim:

 b)    Genellikle  ( belki de ) hayal etmesi daha kolay olduğundan elipsin odakları genellikle x eksenindeymiş gibi anlatılır ve bu yüzden odakların y ekseninde olduğunu düşünmek bu konuyu çalışanları biraz ürkütebilir, ancak korkacak birşey yok:) Tek bir şartımız var, o şartı kontrol etmemiz gerekiyor sadece. Elipsin odakları y eksenindedir eğer şu şart sağlanırsa:

Görsel olarak ifade edecek olursak,  

Bu elipsin odak noktalarının koordinatları F(0,c)  ve F'(0,-c) 'dir. Asal eksen uzuluğu |BB'|= 2b birimdir. Yedek eksek uzunluğu |AA'|= 2a birimdir. FOA' üçgeninde pisagor bağıntısı           ile c<b ve a<b nin her zaman doğru olacağı görülür.

                               

    Buraya kadar öğrendiklerimizi birkaç çözümlü temel soru ile yeniden hatırlayalım:

ÖRNEK-1:

Denklemi  

olan elipsin 

a) Eksenlerinin uzunluklarını

b)  Köşelerinin koordinatlarını

c) Odaklar arası uzunluğunu 

d) Odaklarının koordinatlarını bulunuz.

 

Eğer şekille gösterimi istenseydi şöyle gösterebilirdik:

ÖRNEK-2:

Odakları F(3,0), F(-3,0) olan ve asal eksen uzunluğu 10 birim olan elipsin denklemini bulunuz.

ÇÖZÜM:2 :

2a=10 olduğundan a=5 birimdir ve c=3 olduğundan pisagor teoremi ile aşağıdaki eşitlik bulunur.

Buradan b=4 diyebiliriz. Ve a>b olduğu için elipsin odakları x ekseni üzerindedir. İstenen denklem:

Peki bu denklemin koordinat sisteminde gösterimi nasıl olur? Bu gösterimi kağıt kalem yardımıyla yapabileceğimiz gibi, daha önceden kullandığımız GSP, Nucalc gibi programların yardımı ile de yapabiliriz:

ÖRNEK-3:

  

Analitik düzlemde , aşağıdaki  denkleme sahip elipsin grafiğini çiziniz.

ÇÖZÜM-3:

Soruda bahsedilmemiş; fakat şekil üzerinde odak noktalarını göstermek isteseydik hangi eksende gösterirdik? 

Tabiiki y ekseni üzerinde! Çünkü asal eksenin uzunluğu yedek eksenin uzunluğundan küçük :)

     Bu yazımızda, elipsten bahsettik. Elipsin merkezini, odaklarını, köşe noktalarını ve eksenlerini tanımladık. Sizlere konunun özünü verecek, temel oluşturacak birkaç soru ile de öğrendiklerinizi pekiştirmeye çalıştık. Ayrıca, öğrendiklerinizi, yaklaşık beş dakikalık süren özet şeklinde anlatılmış "elips eğitim videosu" ile tekrar edebilirsiniz :) 

        Bu ana kadar ben yazdım, ben çizdim :) Şimdi, sıra sizde !  Bakalım elipsler hakkında yazım sizin için ne kadar faydalı olmuş :)


NOT: Aşağıda "elipsin analitik incelemesi" konusunu içeren 5 tane test sorusu bulunuyor. Cevapları koyuyorum, çözümlere bakmayın diye :) Çok zorlanırsanız yorum bırakabilirsiniz :)



                                                      SIRA SİZDE ! 
  1)

Analitik düzlemde asal ekseni y ekseni olan elips şekilde gösterilmiştir. Buna göre,

I.   Elipsin odakları F(0,2) ve F'(0,-2) 'dir.

II.  Elipsin asal eksen köşeleri B(  2√3,0) ve  B( -2√3, 0) dır.

III.  Elipsin yedek köşegenleri A( 0,4) ve A(-4,0) dır.

ifadelerinden hangisi veya hangileri doğrudur?

A) I      B) II       C) I, III       D)III      E) I, II, III




                                                                   
     2)   Analitik düzlemde asal ekseni x ekseni olan elips şekilde 

gösterilmiştir. Şekilde verilen elips için,

I.   Asal eksen uzunluğu 20 birimdir.

II.  Yedek eksen uzunluğu 10 birimdir.

III. Odaklar arası uzaklığı 10√3 birimdir.

ifadelerinden hangisi veya hangileri doğrudur ?

A) I     B) I, II    C) II, III    D) I, III      E) I, II, III

                                                                                 
3)    

  Analitik düzlemde, yandaki şekilde verilen elipsin denklemi 

aşağıdkilerden hangisidir?

4)

5)  Analitik düzlemde, asal eksen uzunluğu 10 birim, yedek eksen uzunluğu 8 birim olan, yedek ekseni x ekseni üzerinde bulunan elipsin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

                                          

                                         CEVAP ANAHTARI : E- E-B-C-E

 KAYNAKÇA:

1.  Elips Çizimi

2.  Konu Anlatımında Kullanılan Kaynaklar 

   

•    Kaynak-1
•    Kaynak-2

3. Grafik çiziminde kullanılan Programlar : GSP &  Nucalc

4. Elipslerin Analitik İncelemesi