Konularla ilgili olarak hazırlamış olduğumuz "Materyal Tasarımlar" sizlere örnek olması maksadıyla aşağıda sunulmuştur. Her farklı rengin neyi ifade ettiğini, her farklı kesimin neyi çağrıştırdığını bulun bakalım:)
18 Haziran 2015 Perşembe
1 Haziran 2015 Pazartesi
21 Mayıs 2015 Perşembe
Rasyonel Gerekçe ve Kazanımlar
Matematikçiler çoğu zaman birçoklarının gereksiz gördüğü işlerle uğraşırlar ve yüzyıllar sonra bu gereksiz sanılan işlerin aslında çok gerekli olduğu anlaşılır. Matematikçiler bu " gereksiz " işlere
sadece güzelliklerinden dolayı ilgi duyarlar. Nedeni pek bilinmez ama matematikçilere güzel görünen, bir zaman sonra insanoğluna hep gerekli, yararlı ve vazgeçilmez olmuştur.
Çember ve koniklerde bugün insanoğlu için vazgeçilmez unsurlardandır; nereye baksak bir örneğini görmek mümkün. Çember ve konikler hakkında daha çok bilgi sahibi olmak amacıyla blogumuzu " Çember ve Koniklerin Analitik İncelemesi " hakkında hazırlamaya karar verdik.
Öncelikle blogun amaçlarından bahsedelim:
AMAÇLAR:
Çember:
- Merkezinin koordinatları ile yarıçapının uzunluğu verilen bir çemberin denklemini yazma
- Denklemleri verilen doğru ve çemberin birbirine göre durumlarını inceler.
- Çember üzerindeki bir noktadan çembere çizilen teğet ve normal denklemlerini oluşturur.
Elips:
- Elipsin odakları, köşeleri, merkezi, asal ekseni ve yedek ekseni tanıtılır.
- Elipsin denklemi oluşturulur ve denklemden elipsin bütün özellikleri elde edilir.
- Merkezil elipsin denklemi yazılır ve elipsin tüm özellikleri çıkarılır.
Hiperbol:
- Hiperbolün odakları, köşeleri, merkezi, asal ekseni ve yedek ekseni tanıtılır.
- Hiperbolün denklemi oluşturulur ve denklemden hiperbolün tüm özellikleri elde edilir.
- Merkezil elips tanımlanır, odak noktasının bulunduğu yere göre denklemler oluşturulur.
Parabol:
- Parabolün odağı, doğrultmanı, köşesi ve ekseni tanıtılır.
- Doğrultman doğrusunun denklemi ve odak noktasının koordinatları verien parabolün deklemi yazılır.
- Merkezil elips tanımlanır, odak noktasının bulunduğu eksene göre denklemler oluşturulur.
KAZANIMLAR:
- Yarıçapı ve merkezi verilen çemberin denklemini elde etme ve ulaşılan denklemi kullanarak çemberi inceleme
- Odakları verilen hiperbol ve elipsin, doğrultmanı verilen parabolün denklemlerini oluşturma
Amaçlaarımızdan ve yazı dizimizin sonunda edineceğiniz kazanımların sonrasında kendimize sormamız gereken bir konu var : Nasıl çalışmalıyız ? Bunun için size birkaç tavsiyemiz var :
NASIL ÇALIŞMALIYIZ ?
- Konunun başından itibaren anlaşılmayan kısımları geçmeden, disiplinli bir şekilde çalışmalıyız. Çünkü konulara kolaydan zora, basitte karmaşığa doğru gitmektedir.
- Konu içindeki çözümlü örnekler dikkatle çözülmeli, anlaşılmayan kısımlar tekrar edilmelidir.
- Çemberin ve koniklerin özellikleri iyi öğrenilmelidir.
- Konu sonunda verilen değerlendirme testleri çözülmelidir.
Şimdi çalışmaya başlayabilirsiniz, kolay gelsin :)
17 Mayıs 2015 Pazar
Çemberin Analitik İncelemesi
ÇEMBER DENKLEMİ
ÇEMBER: Düzlemde sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar kümesine çember denir.Sabit noktaya çemberin merkezi,eşit uzaklığa çemberin yarıçapı denir.
Çemberin Standart Denklemi
M ile P noktaları arasındaki uzaklık│MP│ ═ r ═ √(x-a)2+ (y-b)2
dir. Buna göre (x-a)2+
(y-b)2 = r2 olur. Sonuç olarak merkezi M(a,b), yarı çapı
r olan çemberin standart denklemi
(x-a)2+ (y-b)2
= r2 dir
Örnek:
Koordinat sisteminde merkezi M(2,-4) ve yarı çapı 5 birim
olan çemberin denklemi nedir ?
Çözüm:
Çemberin merkezi M(2,-4) olduğundan a=2,b= -4 ve yarıçapı r=5 br dir.
Çemberin denklemi (x-2)2 + (y-(-4))2
= 52
(x-2)2
+ (y+4)2 = 25 olarak bulunur.
Örnek:
Koordinat sisteminde denklemi
(x+4)2 + (y-6)2 = 24 olan çemberin merkezi ve yarıçap
uzunluğu kaç br dir?
Çözüm:
Denklemi (x+4)2 + (y-6)2 = 24 olan
çemberde a= -4 , b= 6 ve yarıçapı r = 2√6 br dir.Buna göre çemberin merkezi M(-4,6) ve r = 2√6 br olarak bulunur.
Aşağıda ise "NuCalc" veya diğer ismiyle "Graphing Calculator" diye bilinen program ile çizdiğim yarıçapı 2 br olan çember bulunmaktadır.
Merkezil Çember Denklemi
Koordinat sisteminde merkezi,başlangıç noktası olan ve r
yarıçaplı çembere merkezil çember denir.Merkezi O(0,0), yarıçapı r olan merkezil çemberin denklemi
x2 + y2= r2 dir
Örnek:
Koordinat sisteminde üzerindeki bir noktası K(-5,12) olan
merkezil çemberin denklemi ne dir?
Çözüm
Çemberin merkezi orijin O(0,0) olduğundan │KO│= r
olacaktır.
r = │KO│= √((-5-0)2
+(12-0)2)
=13 br dir. Buradan çemberin
denklemi
x2
+ y2 = 132
x2 + y2 = 169 olarak bulunur.
Merkezi Eksenler
Üzerinde Bulunan Çember Denklemleri
Merkezi x Ekseni üzerinde Bulunan Çember Denklemleri
Çemberin merkezi x ekseni üzerinde olduğundan ordinatı
sıfırdır.
Çemberin denklemi (x-a)2 + y2 = r2
dir
Merkezi
y Ekseni üzerinde Bulunan Çember Denklemleri
Çemberin merkezi y ekseni üzerinde olduğundan apsisi
sıfırdır.
Çemberin denklemi x2
+ (y-b)2 = r2
dir.
Eksenlere Teğet
Olan Çember Denklemleri
x eksenine teğet olan çemberin yarı çap uzunluğu ile merkez noktasının
ordinatının mutlak değeri birbirne eşittir.
Şekildeki çemberin denklemi (x-a)2 + (y-r)2
= r2 dir
y eksenine teğet olan çemberin yarı çap uzunluğu ile merkez noktasının
apisisinin mutlak değeri birbirne eşittir.
Şekildeki çemberin denklemi (x-r)2 + (y-b)2
= r2 dir
Her İki Eksene de Teğet Olan
Çember
Her iki eksene teğet olan çemberin yarı çap uzunluğu ile merkez noktasının
kordinatlarının mutlak değeri birbirne eşittir.
Şekilde belirtilen çemberin denklemi (x-r)2 +
(y-r)2 = r2 dir.
Örnek:
Koordinat sisteminde yarıçap uzunluğu 8 br, merkezi
2.bölgede olup her iki eksenede teğet olan çemberin denklemi nedir ?
Çözüm:
Her iki eksene teğet olduğundan çember denklemi;
(x-(-8))2 + (y-8)2 = 82
(x+8)2 + (y-8)2 = 64 olarak bulunur
ÇEMBERİN GENEL DENKLEMİ
Merkezi M(a,b) , yarıçapı r olan
çemberin standart denklemi (x-a)2 + (y-b)2 = r2
dir.Bu denklem açık şekilde yazılırsa,
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
olur. Eşitlikte D=-2a, E=-2a ve F= a2+b2-r2
denirse
x2+y2+Dx+Ey+F=O
ifadesi çemberin genel denklemidir.
Bu denkleme göre çemberin merkezi
M((-D/2),(-E/2)) ve yarıçapı r = √(a2+b2-F) veya
2r =√(D2+E2-4F )
olarak bulunur. Ayrıca D2+E2-4F değerine çemberin
diskriminantı denir.
x2+y2+Dx+Ey+F=O
denkleminde,
1) D2+E2-4F >0 ise denklem çember belirtir.
2) D2+E2-4F=
0 ise denklem çember değil, M((-D/2),(-E/2)) noktasını belirtir.
3) D2+E2-4F <0 ise denklem boş küme belirtir.
Örnek:
Koordinat
sisteminde denklemi, x2+y2+8x-2y+8=0
olan çemberin merkezi ve yarı çapı nedir?
Çözüm:
Belirtilen çember denkleminde D=8,E=-2 ve F=8 dir. Buna
göre çemberin merkezi M(-4,1) ve yarı
çapı r = √((-4)2 +12
- 8)=3 br bulunur.
Çember Dışındaki
Bir Noktadan Çizilen Teğet Denklemi
Çembere dışındaki bir noktadan iki tane teğet doğrusu
çizilebilir .
(x-a)2 + (y-b)2 = r2 denklemli çembere dışındaki K(x1,y1)
noktasına çizilen teğetin denklemi y=mx+n olsun.
K(x1,y1) noktası y=mx+n doğrusunu
denklemini sağladığında y1= mx1+n dir
Bununla birlikte çember merkezinin teğet doğrusuna uzaklığı
çember yarı çap uzunluğuna eşittir.
│MT│= r = │ma-b+n│/(1+√(m2)
olur.Ortak çözümden m1,m2,n1 ve n2
degerleri
bulunur.Buradan teğet doğrularının denklemleri y=m1x+n1 ve
y= m2x+ n2 dir.
Örnek:
Koordinat sisteminde K(8,-2) noktasından (x-3)2 + (y+1)2 =
8 denklemli çembere çizilen teğet
doğrularının denklemleri nedir ?
Çözüm
Teğet doğrularının
denklemleri y=mx+n biçiminde olsun K(8,-2) noktası doğru denklemini
sağladığından -2 = 8m+n olur.
Ayrıca, r2(m2+1) = (ma-b+n)2
eşitliğinden,
8(m2+1)
=(3m+1+n)2
8(m2+1) =(3m+1-2-8m)2
8m2+8 = (-1-5m2)
8m2+8=
1+ 25m2 +10m
17m2 + 10m – 7 bulunur.
m1= -1 ve m2= 7/17 bulunur
-2 = 8m+n eşitliğinde m değerleri yerine yazılırsa n1=
6 ve n2= -90/17 olur.Sonuç olarak teğet doğruların denklemleri;
y= -x+6 ve y= (7x/17) -
(90/17) olarak bulunur
İki Çemberin
Birbirine Göre Konumları
Merkezleri M1 ve M2 yarıçapları r1 ve
r2 olan çemberlerin merkezleri arasındaki uzaklık │M1M2│
= d olsun.
d >r1
+ r2 ise çemberler birbirinin dışındadır,kesişmezler.
d=r1
+ r2 ise çemberler birbirine dıştan teğettir.
│r1 – r2│< d < r1 +
r2 ise çemberler iki farklı noktada kesişir. m(M1ÂM2) = 90˚ ise çemberler dik
kesişiyor denir.
d= r1 – r2 ise çemberler birbirine
teğettir
d<│r1 – r2│ ise çemberler iç içedir,
kesişmezler.
Örnek:
Koordinat sisteminde yarıçap uzunluğu 6 birim olan merkezil
çember ile (x-8)2 + (y+6)2 = r2
Çemberi birbirine dıştan teğet ise r kaç birimdir?
Çözüm
Çemberlerin merkezleri olan orjin ile M(8,-6) noktaları
arasındaki uzaklık
│OM│= √82
+ (-6)2 = 10 birimdir. Buna göre,
Çemberler dıştan teğet olup
10=6+r
ise r=4 birim bulunur.
Artık öğrendiklerimizi test etme zamanı geldi.Aşağıdaki örnekler umarım sizlere katkı sağlar. Konu ile herhangi bir problemle karşılaşırsanız lütfen bana ulaşın. Başarı sizinle olsun.
SIRA SİZDE :)
M merkezli çember OB ve Ox doğrularına A ve B noktalarında
teğettir. A(6√3,0) ise çemberin
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
Örnek: Koordinat
sisteminde K(-3,k) noktası, x2+y2-2x-4y-20=0 çemberinin
iç bölgesinde ise k nın alabileceği değer aralığı nedir?
Çözüm:
x2+y2-2x-4y-20=0 çemberinin merkezi
M(1,-2) ve yarıçapı:
r=√(12+(-2)2-(-20))=5
br dir.
K noktası çemberin içinde olduğundan
│MK│ =√((-3-1)2-(k-(-2))2) <5
16-(k-2)2
<25
(k+2)2
<9
-3<
k+2< 3
-5< k < 1 bulunur.
Çember
Demeti
Koordinat sisteminde denklemleri,
x2+y2+D1x+E1y-F1=O
x2+y2+D2x+E2y-F2=O
olan çemberlerin birbirine göre konumunu incelerken bu denklemin oluşturduğu
sistemin çözümüne bakalım.
Denklemler
taraf tarafa çıkartılır ise elde edilen (D1 – D2)
x + (E1 – E2)y -F1-F2=O denklemini
iki çemberin ortak kirişi üzerinde bulunduran doğrunun denklemidir. Bu
denklemden x veya y çekilerek çember denklemlerinde yerine yazılırsa ikinci
dereceden bir bilinmeyenli denklem elde edilir. Bu denklemin diskriminantı ∆
olsun.
1) ∆ < 0 ise çemberler kesişmezler
2) ∆ > 0 ise çemberler birbirine teğettir.
3) ∆ ═0 ise çemberler A ve B gibi iki farklı noktada kesişir.
A
ve B noktalarından geçen çemberler bir çember demeti oluşturur. Bu çember
demetinin denklemi,
x2+y2-D1x+E1y+F1+k(x2-y2+D2x+E2y-F2)=O
biçimindedir.
Örnek: Koordinat
sisteminde x2- y2
= 49 ve x2-y2-12x-16y-84= 0 çemberleri veriliyor. Bu
çemberlerin ortak kirişini üzerinde bulunduran doğrunun denklemi nedir?
Çözüm:Verilen
çember denklemleri taraf tarafa çıkartılırsa istenilen doğrunun denklemi
bulunabilir.
x2+y2-12x-16y-84=0
x2+ y2-49 =0
işlem yapıldığında -12x – 16y – 133 = 0 denklemi istenen
doğrunun denklemidir.
Çemberin
Parametrik Denklemi:
0≤ α ≤ 2π olmak
üzere merkezil
çemberin parametrik denklemi,
x=cosα ve y=sinα olarak bulunur.
Örnek: Koordinat
sisteminde yarıçap uzunluğu 4 birim olan merkezil çemberin parametrik denklemi
nedir?
Çözüm:Merkezil
çemberlerin parametrik denklemi,
x=rcosα ve y=rsinα biçiminde olduğundan x=4cosα ve y=4sinα olarak bulunur.
İlgi çekeceğini düşündüğümden dolayı bu videoyu ekliyorum. Yapılan gösteride çemberleri göreceksiniz. Umuyorum matematik ve geometriye farklı bir bakış açısı kazandırır.
1.Merkezi (-2,1) olan ve
P(3,4) noktasından geçen çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (x-2)2 + (y + 1)2 = 34
B) (x+6)2 + (y –8)2 = 25
C) (x+2)2 + (y -1)2 = 34
D) (x-2)2 + (y – 8)2 = 25
E) (x-2)2
- (y – 1)2 = 16
2.Merkezi
(-3,1) olan çember 5x+12y-4=0 doğrusuna teğettir. Çemberin yarıçapı kaç
birimdir?
A)1 B)17/13 C)
2 D)23/13 E) 27/13
3.A(12,0) ve B(0,16) noktalarından ve orijinden geçen
çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (x-8)2 + (y – 6)2 = 100
B) (x+6)2 + (y –8)2 = 100
C) (x+8)2 + (y + 6)2 = 100
D) (x-6)2 + (y – 8)2 = 100
E) (x-8)2 - (y – 6)2 = 100
4.(n+3)x2 + y2 + -4y + (m-2)xy +
(m-n)x – 8 =0 denklemi bir çember belirttiğine göre, bu çemberin yarıçapı kaç
birimdir?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
5.
M merkezli çember OB ve Ox doğrularına A ve B noktalarında
teğettir. A(6√3,0) ise çemberin
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (x-6√3)2
+ (y-2√3)2 = 18
B) (x-6√3)2
+ (y-6)2 = 18
C) (x-6)2 + (y-6√3)2 = 18
D) (x-6√3)2
+ (y-6)2 = 36
E) (x-6√3)2
+ (y-6√3)2 = 36
CEVAPLAR:1C/2E/3D/4D/5D
KAYNAKÇA:
1.Çizimde kullanılan programlar: a.The Geometer's Sketchpad
b.Graphing Calculator (NuCalc)
2.Yararlanılan kaynaklar: a.Geometri ,Mehmet ŞAHİN, Palme Yayıncılık,2011
b.Analitik Geometri,Serdar OKÇU, Asel Yayınları,2013
c.Ortaöğretim Matematik Öğ. Geometri Kitabı,İhtiyaç
Yay.2015
d.Analitik Geometri ,Komisyon Yayınları,2009
Elipsin Analitik İncelemesi
 |
| Tanıdık geldi mi :) |
Tanım: Düzlemde sabit iki noktaya olan uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların geometrik yerine elips denir. Sabit olan iki noktaya elipsin odakları, odakları birleştiren doğru parçasının orta noktasına da elipsin merkezi denir.
Peki bir elips nasıl çizilir? Elips çizmek için üç tane yöntem var: Pergel ile çizim, Paralelkenar yöntemi ve Eşmerkezli daireler yöntemi. Üç yöntemin arasında bana en kolay gelen, "Eşmerkezli daireler yöntemi". Şimdi bu yöntemle elipsi nasıl çizeceğimizi adım adım görelim:
1.Adım:
Çapları birbirinden farklı olan eş merkezli iki tane daire çizilir.
2.Adım
Çizilen bu daireler merkezden geçen istenilen sayıda diyagonal ile bölünür. Diyagonallerin büyük ve küçük daireleri kestiği noktalar işaretlenir.
3.Adım:
Aynı diyagonal üzerinde, büyük dairedeki noktalardan dikey, küçük dairedeki noktalardan yatay çizgiler çizilerek bu çizgiler kesiştirilir.
4.Adım:
Kesişme noktaları serbest elle veya eğri cetveli yardımıyla birleştirilir.(burada GSP programı yardımı ile yaptık, ancak sadece kağıt kalem de kullanılabilir:) )
Kesişme noktaları serbest elle veya eğri cetveli yardımıyla birleştirilir.(burada GSP programı yardımı ile yaptık, ancak sadece kağıt kalem de kullanılabilir:) )
Ve elipsi nasıl oluşturduğumuzu gördük. Şimdi, elipsin merkezinden ve odaklarından bahsedelim. Daha önce tanımlarını vermiştik, bir kez daha tekrarlayalım: Düzlemde sabit olan iki noktaya elipsin odakları, odakları birleştiren doğru parçasının orta noktasına da elipsin merkezi denir .
Şimdi bunları bir de şekil üzerinde görelim:
Yukarıdaki şekilde F(c,0) ve F'(-c,0) odak noktalarıdır. |F'O|=|OF|=c birimdir.
|FF'|= 2c birim uzunluğuna elipsin odaklar arası uzaklığı denir. Yukarıda da belirttiğim gibi, bu uzaklığın orta noktasına da elipsin merkezi denir. Yandaki şekilde O noktası elipsin merkezidir.
Şekilde de görüldüğü gibi |AA'|= 2a birimdir ve |BF| + |BF'| = 2a birimdir. (Neden? )
Eğer |AA'|=2a , |BB'|=2b ve |FF'|=2c denirse,
yandaki şekilden de kolayca görüldüğü gibi
a2 + b2 = c2 eşitliği elde edilir.
Bu bize a,b ve c arasında daima şöyle bir sıralamanın olacağını söyler:
b<a ve c<a
Elipsin merkezini ve odaklarını öğrendikten sonra, şimdi elipsin köşeleri ve asal eksenlerini tanımlayacağız.
Tanım: Yukarıdaki şekilde A, A', B, B' noktalarına elipsin köşeleri , [AA'] doğru parçasına elipsin asal ekseni, [BB'] doğru parçasına elipsin yedek ekseni veya küçük ekseni denir.
Asal eksen uzunluğu |AA'|= 2a birimdir ve yedek eksen uzunluğu |BB'|= 2b birimdir. Elipsin merkezini odak noktaların orta noktası diye tanımlamıştık daha önce; burada başka bir deyişle asal eksen ile yedek eksenin kesişme noktası olarak tanımlayabiliriz.
Elipsin merkezi her zaman (0,0) noktası olmayabilir. Ancak merkezi (0,0) olan elipslere merkezil elips denir.
Şimdi, elipsin merkezini, odaklarını, köşelerini ve eksenlerini nasıl belirlediğimiz ile ilgili bir örnek görelim:
Buraya kadar elips denklemi oluşturabilmek için gerekli olan temel bilgileri öğrendik. Şimdi elips denkleminin nasıl oluşturulduğuna geçebiliriz:
Merkezil Elips Denklemi:
Bu elipsin odak noktalarının koordinatları F(0,c) ve F'(0,-c) 'dir. Asal eksen uzuluğu |BB'|= 2b birimdir. Yedek eksek uzunluğu |AA'|= 2a birimdir. FOA' üçgeninde pisagor bağıntısı ile c<b ve a<b nin her zaman doğru olacağı görülür.
olan elipsin
Merkezil Elips Denklemi:
- Merkezi orijin ve eksenleri koordinat eksenleri olan elipse merkezil elips denildiğinden bahsetmiştik. x eksenini (a,0) ve (-a,0) noktasında , y eksenini (0,b) ve (0, -b) noktasında kesen elipsin denklemi :
NOT:
Merkezil elips, odak noktalarının x ve y eksenleri üzerinde olması durumu gözetilerek iki farklı
durumda incelenebilir:
a)
Elipsin denkleminin ne olduğundan biraz önce bahsetmiştik. Paydadaki a ve b değerleri, yani asal
eksen ve yedek eksenin koordinatları bize elipsin odaklarının x veya y ekseni üzerinde olduğunu
işaret eder. Elipsin odakları x ekseni üzerindedir eğer şu şart sağlanırsa :
Şimdi bunu bir örnekle pekiştirelim:
b) Genellikle ( belki de ) hayal etmesi daha kolay olduğundan elipsin odakları genellikle x eksenindeymiş gibi anlatılır ve bu yüzden odakların y ekseninde olduğunu düşünmek bu konuyu çalışanları biraz ürkütebilir, ancak korkacak birşey yok:) Tek bir şartımız var, o şartı kontrol etmemiz gerekiyor sadece. Elipsin odakları y eksenindedir eğer şu şart sağlanırsa:
Görsel olarak ifade edecek olursak,
Bu elipsin odak noktalarının koordinatları F(0,c) ve F'(0,-c) 'dir. Asal eksen uzuluğu |BB'|= 2b birimdir. Yedek eksek uzunluğu |AA'|= 2a birimdir. FOA' üçgeninde pisagor bağıntısı ile c<b ve a<b nin her zaman doğru olacağı görülür.
Buraya kadar öğrendiklerimizi birkaç çözümlü temel soru ile yeniden hatırlayalım:
ÖRNEK-1:
Denklemi
olan elipsin
a) Eksenlerinin uzunluklarını
b) Köşelerinin koordinatlarını
c) Odaklar arası uzunluğunu
d) Odaklarının koordinatlarını bulunuz.
Eğer şekille gösterimi istenseydi şöyle gösterebilirdik:
ÖRNEK-2:
Odakları F(3,0), F(-3,0) olan ve asal eksen uzunluğu 10 birim olan elipsin denklemini bulunuz.
ÇÖZÜM:2 :
2a=10 olduğundan a=5 birimdir ve c=3 olduğundan pisagor teoremi ile aşağıdaki eşitlik bulunur.
Buradan b=4 diyebiliriz. Ve a>b olduğu için elipsin odakları x ekseni üzerindedir. İstenen denklem:
Peki bu denklemin koordinat sisteminde gösterimi nasıl olur? Bu gösterimi kağıt kalem yardımıyla yapabileceğimiz gibi, daha önceden kullandığımız GSP, Nucalc gibi programların yardımı ile de yapabiliriz:
ÖRNEK-3:
Analitik düzlemde , aşağıdaki denkleme sahip elipsin grafiğini çiziniz.
ÇÖZÜM-3:
Soruda bahsedilmemiş; fakat şekil üzerinde odak noktalarını göstermek isteseydik hangi eksende gösterirdik?
Tabiiki y ekseni üzerinde! Çünkü asal eksenin uzunluğu yedek eksenin uzunluğundan küçük :)
Bu yazımızda, elipsten bahsettik. Elipsin merkezini, odaklarını, köşe noktalarını ve eksenlerini tanımladık. Sizlere konunun özünü verecek, temel oluşturacak birkaç soru ile de öğrendiklerinizi pekiştirmeye çalıştık. Ayrıca, öğrendiklerinizi, yaklaşık beş dakikalık süren özet şeklinde anlatılmış "elips eğitim videosu" ile tekrar edebilirsiniz :)
Bu ana kadar ben yazdım, ben çizdim :) Şimdi, sıra sizde ! Bakalım elipsler hakkında yazım sizin için ne kadar faydalı olmuş :)
NOT: Aşağıda "elipsin analitik incelemesi" konusunu içeren 5 tane test sorusu bulunuyor. Cevapları koyuyorum, çözümlere bakmayın diye :) Çok zorlanırsanız yorum bırakabilirsiniz :)
SIRA SİZDE !
1)
Analitik düzlemde asal ekseni y ekseni olan elips şekilde gösterilmiştir. Buna göre,
I. Elipsin odakları F(0,2) ve F'(0,-2) 'dir.
II. Elipsin asal eksen köşeleri B( 2√3,0) ve B( -2√3, 0) dır.
III. Elipsin yedek köşegenleri A( 0,4) ve A(-4,0) dır.
ifadelerinden hangisi veya hangileri doğrudur?
A) I B) II C) I, III D)III E) I, II, III
2) Analitik düzlemde asal ekseni x ekseni olan elips şekilde gösterilmiştir. Şekilde verilen elips için,
I. Asal eksen uzunluğu 20 birimdir.
II. Yedek eksen uzunluğu 10 birimdir.
III. Odaklar arası uzaklığı 10√3 birimdir.
ifadelerinden hangisi veya hangileri doğrudur ?
A) I B) I, II C) II, III D) I, III E) I, II, III
3)
Analitik düzlemde, yandaki şekilde verilen elipsin denklemi
aşağıdkilerden hangisidir?
4)
5) Analitik düzlemde, asal eksen uzunluğu 10 birim, yedek eksen uzunluğu 8 birim olan, yedek ekseni x ekseni üzerinde bulunan elipsin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
CEVAP ANAHTARI : E- E-B-C-E
KAYNAKÇA:
1. Elips Çizimi
2. Konu Anlatımında Kullanılan Kaynaklar
4. Elipslerin Analitik İncelemesi
Kaydol:
Kayıtlar (Atom)